Giuseppe Peano (1858-1932)
Intro
Il motto “semplicità e chiarezza” descrive pienamente la figura del matematico italiano Giuseppe Peano, che ha finito per caratterizzare tutta la sua opera di studioso e di uomo di scienza, ma soprattutto di insegnante. Sì, perché per il grande matematico piemontese la didattica non è e non poteva considerarsi un momento meno rilevante rispetto all’invenzione o la scoperta di nuove strutture formali. Il progresso delle conoscenze infatti, passa anche dalla capacità di saper bene applicare quanto nel frattempo viene a sedimentarsi nel sapere, ecco perché nasce l’esigenza di mettere un punto, più o meno definitivo, a quello che la ricerca pura ha nel frattempo acquisito. Su quest’esigenza nasce una delle opere più importanti di Peano, il Formulario di matematica, la cui prima edizione è del 1908, un opera che accompagnerà per tutta la vita il matematico e che finirà per assumere anche carattere collegiale, tanto che gli aggiornamenti e le rivisitazioni saranno frutto di varie collaborazioni in campo scientifico.
In ogni caso, il Formulario di matematica è un’opera enciclopedica, lo strumento con cui si vuole dare ordine e compiutezza a quanto era stato nel frattempo acquisito dalla teoria pura, tuttavia proprio in virtù di questa urgenza di sintesi e di schematizzazione (o economizzazione) delle conoscenze acquisite, scaturisce un altro tema che caratterizzerà l’opera del grande matematico italiano, quella di formulare un adeguato sistema di rappresentazione (notazione simbolica) e di un vero e proprio linguaggio con il quale dare corretta espressione alle proposizioni matematiche. Scaturisce così, l’esigenza leibniziana di costruire una lingua che possa essere una mathesis universalis, ma anche quel progressivo orientamento verso la logica matematica, evidenziato da Bertrand Russell nella premessa ai suoi Principi di Matematica, orizzonte che Peano ha sempre escluso come suo diretto interesse di studioso.
“In matematica debbo moltissimo a Giorgio Cantor ed a Giuseppe Peano”
(B. Russell, Principi di matematica)
L’idea di matematica che raccoglie il grande logico e matematico inglese è perfettamente ritrovabile in Peano e cioè nella sua convinzione che la matematica non sia solo un’attività astratta, ma potesse essere quel gesto di riflessione sulla realtà da cui trarre schemi e strutture costanti con le quali organizzare l’intera esperienza umana in una sorta di razionalismo che ricorda moltissimo la teoria matematica antica. Tuttavia, quest’idee non guidano solo la dimensione della ricerca pura in senso stretto, ma anche quell’ideale di impegno sociale che finirà per caratterizzare tutti i suoi sforzi di scienziato. La rinuncia di una visione autoreferenziale della matematica permette a Peano di poterne affermare l’importanza pubblica, da cui deriva la rilevanza del suo corretto insegnamento. L’attenzione alla didattica della teoria matematica sarà un tratto qualificante del suo lavoro di saggista e proprio alla didattica è rivolto un’opera, che appare minore rispetto agli altri saggi, ma per neofiti e studenti è qualcosa di incredibilmente stimolante, mi riferisco all’opera del 1924, Giochi di aritmetica e problemi interessanti.
Il tema non riguarda l’opera in sé, ma una delle applicazioni che Peano propone delle strutture matematiche, in particolare quella proposta nel capitolo 3 dell’opera, dedicata alla lettura del calendario. In queste pagine il matematico italiano evidenzia come nella composizione, ma anche nella lettura del calendario intervengano semplici operazioni elementari, che rivelano a loro volta l’individuazione di uno schema aritmetico con il quale spiegare l’andamento delle date che compongono la calendarizzazione in questione. Ciò ricorda l’idea pitagorica dell’assolutizzazione del numero su cui a sua volta si fonda la tradizionale meccanica celeste basata su un armonico sviluppo di rapporti numerici: basti pensare all’intuizione di Keplero di congiungere lo studio del cosmo con la musica. Tuttavia, questa lettura del calendario non la osservo guardando quanto dice Peano, il cui argomento è alquanto complesso, almeno per me, ma attraverso la rielaborazione successiva che altri hanno fatto di questo stesso tema.
Nel suo libro intitolato Matematica per gioco pubblicato nel 2012, Federico Peiretti fa esplicito riferimento a questo capitolo dell’opera di Peano, sottolineandone nel contempo anche gli intenti didattici, e di cui fornisce una spiegazione estremamente comprensibile, riportando però una versione leggermente modificata dello originario argomento di Peano.
Dimmi che numero hai e ti dirò che giorno della settimana è
La lettura del calendario che Peano svolge in uno dei capitoli di Giochi matematici e problemi interessanti ha come detto, l’intento di mostrare il tipo di algoritmo che sussiste nella composizione dei mesi e degli anni per la calendarizzazione. Tuttavia, dal suo discorso non emerge solo questo dato, che può apparire ai più anche decisamente sorprendente, ma ne rivela un altro, quello di una ricorsività dei giorni dell’anno, vale a dire dell’esistenza di uno schema intrinseco che una volta individuato tende a ripetersi. Una sorta di ciclicità che ritorna – parafrasando malamente una delle convinzioni del filosofo tedesco Nietzsche – che però non ha il valore storiografico vichiano di ripetersi sempre diverso (il famoso tema dei ricorsi storici), né ha il valore filosofico di una mutazione valoriale delle forme esteriori, quest’ultime perennemente immutate, al modo delle Idee platoniche, ma ha semplicemente il valore di evidenziare una struttura costante nell’andamento del tempo lineare, del sistema numerico che fonda il tempo descritto dal calendario appunto.
L’andamento algoritmico delle date di un calendario, afferma Peano, rivela uno schema pressocché costante e che rivela una ricorsività che, una volta appresa, può facilmente essere ricordata. Ora, nella storia della filosofia molti si sono adoperati per inventare vari metodi mnemonici, in questo caso basta semplicemente prendere confidenza con un algoritmo, altrettanto semplice e non difficile da capire. L’algoritmo infatti, non solo propone uno schema essenziale delle operazioni matematiche che dobbiamo compiere per avere il risultato che stiamo cercando, tra l’altro utilizza alcune delle operazioni elementari, ma rivela quell’idea di regolarità che è implicita nell’argomento di Peano sul calendario.
Pieretti a riguardo, propone la versione semplificata elaborata dal matematico statunitense John Conway. Il tratto caratterizzante questo algoritmo è la ricorsività di alcuni giorni della settimana, che è costante per il periodo di tempo che si sta considerando: ciò significa che se il nostro obiettivo è determinare il giorno della settimana relativo al secolo XX, esiste un giorno che definisce e caratterizza appunto quel secolo. Nel caso del XX secolo è il giorno del mercoledì.
Questi giorni fulcro sono sempre gli stessi per quanto riguarda il secolo che interessa, ma variano ovviamente con il cambiare del secolo di riferimento. Conway chiama questi particolari giorni del calendario Doomsday, cioè Giorno del Giudizio.
Ora, per chiarire meglio il meccanismo dell’algoritmo di Conway considero come esempio pratico la mia data di nascita, 21 aprile 1976. Ciò detto, se volessi sapere (anche se lo so già!) in che giorno della settimana cadde la mia nascita, devo produrre il seguente ragionamento.
Anzitutto, bisogna memorizzare alcuni semplici rapporti numerici, i quali indicano appunto, queste date fisse con le quali può dispiegarsi l’algoritmo da lui elaborato. Per i mesi pari dell’anno i rapporti sono i seguenti:
4⁄4, 6⁄6, 8⁄8, 10⁄10, 12⁄12,
mentre per i mesi dispari dell’anno i rapporti sono i seguenti:
9⁄5, 5⁄9, 11⁄7, 7⁄11.
Come si può facilmente osservare ogni rapporto è regolare ed esprime una differenza costante uguale a 4. Ovviamente, si deve ammettere un’eccezione per il mese di marzo, il cui rapporto è 0⁄3, che non esiste, in quanto il primo giorno di marzo risulta essere zero, il che non è vero, ma il rapporto descrive quel particolare giorno che è l’ultimo giorno di febbraio, che come si sa può variare a seconda della bisestilità dell’anno. Di conseguenza, meno regolari sono i giorni relativi appunto ai primi due mesi dell’anno, perché per gli anni ordinari il rapporto è 0/2 e 0/3, mentre per gli anni bisestili sono 4/1 e 1/2.
Tenendo come esempio la mia data di nascita dunque, si può osservare che essa cade entro il secolo XX, per cui ai fini del conteggio le cifre che interessano sono semplicemente quelle finali del numero che descrive l’anno, cioè 76. Ecco in questa i calcoli da effettuare:
- Anzitutto dividere il numero per 12, per cui 76÷12=3,8. Si tengano il Quoziente in questo caso 3 (senza alcun arrotondamento) ed il Resto, che è 4;
- dividere il Resto per 4, per cui S=4÷4=0;
- sommare Quoziente, Resto e Somma. Indichiamo con T il risultato, per cui T=Q+R+S=3+4+0=7;
- contare infine numero T giorni a partire dal Doomsday del secolo, che come detto è mercoledì e quello che si ottiene è appunto, il Doomsday dell’anno. Nel mio caso, essendo T uguale a 7, il mio Doomsday è proprio mercoledì.
L’algoritmo così esposto riguarda l’attuale sistema del calendario, che come è noto è il risultato della riforma gregoriana, per cui se il calcolo riguarda una data diversa dal secolo XX, es. la data della presa della Bastiglia, avvenuta il 14 luglio 1789, si devono tenere in mente alcuni accorgimenti. Anzitutto, i Doomsday variano nel corso dei secoli e a tal riguardo, Pieretti propone il seguente prospetto:
15du – 19du – 23du – 27du Doomsday: mercoledì
16du – 20du – 24du – 28du Doomsday: martedì
17du – 21du – 25du – 29du Doomsday: domenica
18du – 22du – 26du – 30du Doomsday: venerdì
Come si evince, lo stesso Doomsday si ripete ogni quattro secoli, per cui deve tenersi a mente la variazione sopra indicata.
Per facilitare la comprensione, facciamo riferimento alla data menzionata, una tappa fondamentale nella storia della Rivoluzione francese e della Francia attuale. Seguendo infatti, le operazioni sopra descritte, si eseguono passo passo lo stesso algoritmo, per cui si avrà che Q=89÷12=7, R=5 e S=1; quindi, il valore di T è uguale a T=Q+R+S=7+5+1=13. Il Doomsday del secolo XVIII è la domenica, quindi il calcolo di T è 13 giorni dopo domenica, cioè sabato. E così per quanto riguarda qualsiasi altra data.
Conclusioni
Nel suo capitolo su Peano Peiretti aggiunge un’ulteriore spiegazione per quanto riguarda il calcolo del giorno in riferimento al calendario romano, in particolare il calendario in uso durante l’epoca di Giulio Cesare, che qui ometto e chi vuole può visionare consultando il testo del matematico italiano.
Quanto detto fino a qui mi sembra più che sufficiente ad evidenziare anzitutto, una divertente curiosità che può diventare anche un simpatico esercizio per la memoria, con cui prendere da un lato confidenza con due delle semplici operazioni elementari, quali la divisione e l’addizione, ma soprattutto a fissare concettualmente l’idea razionalista per cui la realtà possa spiegarsi tramite l’individuazione di schemi semplici.
Questo tipo di semplificazione rivela la propria efficacia sul piano didattico, come appunto fa Peano, tuttavia ciò non vuol dire che si possa procedere altrettanto agevolmente in direzione di un’assolutizzazione di questa visione dal sapore antico. Voglio dire che la direzione della ricerca teorica più recente è diametralmente opposta a quella a cui fa riferimento il matematico italiano e ciò perché da un lato è cambiato il modello di riferimento, e dall’altro lato perché certi sviluppi non possono riassumersi in formule semplici e definitivi, in quanto le grandezze che agiscono in un evento fisico variano rendendo l’analisi stessa più complessa. Tuttavia, ciò non toglie la validità sul piano didattico della posizione di Peano.
In uno scenario scientifico dominato dalla complessità e dagli andamenti statistici la lettura del calendario di Peano appare quasi un ludico passatempo (che è in parte quello che intendeva lo stesso matematico), ma che ripropone sotto mentite spoglie un’idea di realtà che non fa parte dell’attuale orizzonte scientifico e culturale. La dimensione complessa degli scenari scientifici attuali è tale che richiede la creazione di una o più piattaforme sinergiche tra discipline eterogenee, in modo da osservare uno stesso fatto “simultaneamente” da prospettive analitiche diverse, per cui non basta più individuare lo schema portante con il quale descrivere in modo regolare il comportamento di un fenomeno, ma si deve ammettere una natura congetturale ed ipotetica della stessa conoscenza prodotta; e ciò influisce ovviamente, nel modo di comporre le meccaniche, gli studi sugli enti materiali, foss’anche esseri viventi e così via.
Porto Empedocle, 28 settembre 2019
(rivisto e modificato il 29 settembre c.a.)
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