Il saggio barbuto. #1. Una breve opinione sul problema della derivata in Marx

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Quanto segue è più breve di quello che stavo preparando in precedenza, anche se verte sullo stesso argomento, cioè l’analisi che il filosofo tedesco Karl Marx realizza in un paio di manoscritti, definiti dalla storiografia con il titolo di Manoscritti matematici.

La rilevanza intellettuale di questi manoscritti è veramente enorme, non solo perché possono considerarsi degli studi preparatori di quella struttura concettuale che è alla base di scritti di grande significato come il Saggio sul plusvalore e sul profitto, che certamente fanno sentire la loro influenza almeno nel terzo libro de Il Capitale, ma perché permettono di inscrivere la figura di Marx entro quel consesso della scienza europea, che a causa della sua statura di ideologo politico e filosofo del socialismo difficilmente può rientrarvi. In questi scritti il contributo che Marx dà al dibattito della scienza europea del XIX secolo è realmente importante, forse più delle sue analisi scientifiche sul sistema capitalistico, ma questa è una mia opinione..

Come suggerisce il titolo dei manoscritti, l’argomento riguarda la matematica, tuttavia oggetto dei manoscritti non è la scienza matematica nella sua interezza, ma uno specifico aspetto di essa, cioè l’analisi matematica ed in particolare del calcolo differenziale. L’argomentazione marxista infatti, si colloca in uno scenario in cui la scienza ottocentesca inizia un complessivo processo di risistemazione del linguaggio matematico, fondamentale per l’attività scientifica, soprattutto dopo che la rivoluzione intellettuale operata dal naturalismo galileiano aveva informato l’empirismo naturalistico con la struttura operazionale della matematica: la conoscenza scientifica si fonda sull’osservazione diretta della natura, ma sottolinea Galilei il linguaggio che la descrive è quello della matematica. Tuttavia, la matematica a cui guardava Galilei era ancora l’antica aritmetica greca e la geometria euclidea, strumenti che all’epoca risultava ancora validi, ma non altrettanti potenti come capiranno i vari matematici europei dal Seicento in avanti.

Tra i nuovi strumenti di indagine analitica della scienza deve annoverarsi il calcolo infinitesimale, anche se per qualche secolo verrà chiamato in altro modo, ma il poter utilizzare questo strumento occorre da un lato una nuova teoria del numero e dall’altro lato la definizione di un nuovo metodo di calcolo, quest’ultimo affidato alla teoria delle funzioni e che verrà indicato nel calcolo differenziale. Ecco allora, che viene ad istituirsi la analisi matematica come si conosce oggi e con la quale indichiamo quell’attività matematica con la quale si opera su numeri «infinitamente» piccoli – di converso anche «infinitamente» grandi – strutturati (in gergo si dice algoritmizzati) entro proposizioni formali (le funzioni, appunto) derivanti dalla geometria analitica, cioè dalla geometria delle superfici curve.

Evito di proporre un excursus storico-tematico tramite il quale si sia giunti a questo punto, anche se alcuni lo troverebbero di grande interesse, ma quanto detto è sufficiente per capire quale sia il contesto tematico entro il quale si inscrive l’intervento marxista. C’è solo da aggiungere che Marx disserta sul calcolo differenziale, ma il suo argomento non riguarda l’analisi matematica, perché quest’ultima nella sua epoca continuava a chiamarsi con il termine islamico di «algebra» (is. al-jabr); inoltre, che la notazione che utilizza il filosofo tedesco è sì molto simile a quella che si utilizza oggi, ma perché l’apprende dalla teoria delle funzioni formulata dal matematico Joseph-Louis Lagrange, che è punto di riferimento dell’intera argomentazione marxista.

Riferendosi al trattato di Joseph-Louis Lagrange, Teoria della funzioni analitiche (1813), Marx pone un’esigenza diffusa al tempo, quello di utilizzare una notazione simbolica per il calcolo differenziale che fosse più chiara e più semplice di quella espressa dal simbolismo newtoniano. L’opera di Lagrange è ampiamente indirizzata sulla notazione leibniziana e Marx la adotta serenamente, tuttavia il filosofo tedesco accomuna questo simbolismo leibniziano a quello newtoniano nell’accusa stigmatizzante di essere una matematica avente un simbolismo «mistico» ed «idealista». Questa accusa consiste essenzialmente nel rifiuto di quel carattere di trascendentalismo che proprio la scrittura newtoniano-leibniziana consegna all’attività del calcolo. La trascendentalità consiste in effetti, nell’opinione marxista di operare sulle quantità del calcolo differenziali secondo la prospettiva della metafisica, cioè come entità di cui si afferma preventivamente l’esistenza, ma si lascia del tutto indeterminata la sua natura intrinseca; infatti, l’intento del calcolo differenziale sarebbe, in base a questa concezione, di riuscire a fissare il contenuto determinato delle quantità in questione. Ciò da adito ad arbitri e ad una complessità non particolarmente rigorosa delle operazioni di calcolo.

Il modello lagrangeiano di calcolo permette a Marx di rivelare i limiti della notazione newtoniana-leibniziana, ma soprattutto lo aiuta a rivelare la sua stessa concezione matematica. L’arbitrarietà delle stesse operazioni matematiche non permette di tradurre concretamente le quantità in oggetto del calcolo e le manipola come se fossero realtà che all’occorrenza sparissero. Marx considera un caso in cui l’annullamento del rapporto differenziale, vale a dire la composizione di una frazione del tipo

non solo rende non significativa l’intera funzione, ma cancella di soppiatto quantità precedentemente ammesse come esistenti, cioè come date.

L’esigenza di avere una scrittura che non produca situazioni di questo tipo è per Marx rilevante, perché ciò non permette di utilizzare secondo un’aritmetica «rigorosamente algebrica» lo strumento del calcolo. Qui con l’espressione «rigorosamente algebrica» Marx si riferisce ovviamente alla matematica e al modello lagrangeiano che si presenta appunto, come una rigorosa risistemazione del calcolo differenziale, tuttavia bisogna aggiungere un altro significato. Per Marx è intollerabile che l’attività del calcolo possa basarsi su quantità la cui esistenza possa essere vanificata nel processo di calcolo; l’ammissione di quantità certe, seppur variabili, suggerisce che in qualche modo nel computo del calcolo queste debbano preservarsi, o comunque non subire l’annullarsi tramite l’attività operativa. Questo aspetto per il filosofo non è secondario, perché lo conduce a confrontarsi sullo stesso terreno della scuola economica austriaca, cioè con gli economisti marginalisti. Se è vero, come afferma Augusto Ponzio nell’introduzione ai Manoscritti matematici (1975, Dedalo Libri), che nello stesso periodo della stesura degli stessi scaturisce in Marx il progetto di formulare una vera e propria teoria generale dell’economia a fondamento socialista, allora l’estensione del calcolo differenziale al campo dell’economia non può dare come rappresentazione di questi fatti la convinzione che alcune quantità comprese nel calcolo non abbiano alcuna rilevanza.

L’esempio immediato riguarda l’apporto del lavoro dell’operaio nella composizione del valore di una merce. Se il contributo dell’operaio nel processo produttivo è meno rilevante di quel che si creda in realtà, ciò pone un grave problema di giustizia sociale, ma anche un complicato problema di composizione economica della retribuzione. Guidato dalla teoria lagrangeiana Marx apprende che applicando così com’è il calcolo ai fatti determinati, come a.e. quelli dell’economia e della legislazione sociale, può venirsi a giustificare un certo sfruttamento ed abuso sul lavoro dipendente e sul lavoro retribuito. Tuttavia, Marx crede che questo tipo di stortura, ravvisabile in termini matematici, sia semplicemente il prodotto di una ambiguità aritmetica dello stesso calcolo, anzi del suo simbolismo, mentre esclude che ciò che il calcolo sta registrando possa essere la situazione reale, concreta e determinata non solo creata dalla subordinazione (come penseranno i comunisti nel Novecento), ma creata anche dalla natura stessa del lavoro.

In aggiunta, la polemica marxista che sembra apparentemente indirizzata verso una realtà più materialistica del calcolo, necessario questa relazione per estenderlo al campo dei fatti economici, non si avvede che ciò che indica come metodo «rigorosamente algebrico», in realtà proietta sempre più il calcolo verso la determinazione di situazioni più generali ed astratte: voglio dire, Marx accusa Newton di avere formulato un simbolismo che merita l’accusa di misticismo, in quanto si muove in direzione di un trascendentalismo del calcolo, annullando e facendo sparire quantità che invece devono rimanere determinate durante tutto il processo operativo, ma il modello di riferimento che gli ha permesso di scoprire questa lacuna concettuale non è esente da questa stessa accusa, anzi. Se infatti, le quantità del calcolo in Newton ammettono predeterministicamente di essere delle realtà numeriche, cioè concrete, le stesse quantità nel modello lagrangeiano non hanno quest’ammissione e è ragionevole pensare che le variabili che intervengono nel calcolo differenziale di Lagrange siano solo delle presenze spettrali, ammesse per ipotesi ed in ogni caso, fissate per descrivere alcune specifiche situazioni teoriche.

È abbastanza sorprendente che, nonostante le intenzioni progettuali di Marx, il modello da lui proposto e presentato ed esaltato come strumento analitico rigoroso sia a conti fatti lontano dal realizzare il progetto marxista di una teoria economica socialista, paradossalmente il “misticismo” newtoniano sembra più credibile e più aderente al progetto marxista che non quello lagrangeiano, ma questo sembra essere sfuggito allo stesso filosofo.