Un piccolo excursus di geometria: l'esagono

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L’altro giorno mia sorella mi chiede di aiutarla a risolvere un piccolo problema di geometria assegnato dalla maestra di scuola a mio nipote. Il problema chiedeva di calcolare la superficie libera a traffico pedonale di una zona di parcheggio a forma di esagono. La soluzione consisteva nel calcolare l’area dell’intera superficie e sottrarre da questa il 60% occupata dalle zone di sosta per le automobili. Ora, a questo livello scolastico il tema didattico è soprattutto mettere in confidenza gli studenti con le forme geometriche e soprattutto con le formule relative alle proprietà delle stesse figure: lo scopo di ciò è iniziare ad abituare lo studente al ragionamento analitico, in questo caso al discorso geometrico lineare. Tuttavia, il testo del problema introduce una figura, quella del poligono esagonale, che meglio di altri poligoni permette di descrivere la correlazione tra le figure lineari, cioè tutte le figure a linea spezzata e che configurano una forma geometrica avente un certo numero di lati, e le figure a linea continua come sono appunto, i cerchi. Anzi, il discorso geometrico elementare ricorre sovente all’uso dei cerchi e all’inscrizione dei poligoni entro una superficie circolare per ottenere la misura più accurata possibile dell’area delle stesse figure. A tal riguardo, vengono elaborate alcune tecniche di costruzione geometrica che renda possibile questa condizione materiale, cioè lo inserimento entro una curva di una figura a linea spezzata, ma ciò che è sorprendente è che questa misura viene affidata ad un sistema dove la misura della circonferenza è un valore non facilmente determinabile, in quanto è un piccolo numero non intero e periodico.

Ciò nonostante l’argomento verso cui mi orienterò riguardano le ragioni teorico-geometriche che sono alla base di un’espressione figurata con la quale nell’attuale lessico si indica l’impossibilità che una certa situazione venga a risolversi e cioè la «quadratura del cerchio». L’espressione che attualmente ha un valore figurativo, quasi metaforico, indica un’aporia vera e propria nella matematica antica, quella di riuscire a trasformare il cerchio in un quadrato, e che rappresenta uno degli obiettivi che la matematica greca non riuscirà a raggiungere, anche se per secoli i matematici cullarono l’illusione che ciò fosse un tema realizzabile. Ciò detto, l’espressione in questione è vera a metà, nel senso che in una certa misura si raggiunse tale obiettivo, in quanto ottenne un quadrato da una linea curva che apparteneva ad un mezzo cerchio. Di qui, l’illusione che se ciò era vero per mezzo cerchio, doveva esserlo anche per l’intero cerchio! Ehm, non è proprio così..

Per provare a comprendere almeno un poco la dimensione della problematica, proviamo a giocare. Ah, beninteso che il tema di quanto segue non riguarda la «quadratura del cerchio», nel senso che non è una storia del problema, né sulle conseguenze che da esso derivano sul piano filosofico-matematico, anche se quest’intreccio è altrettanto interessante se si è interessati allo sviluppo di una certa mentalità scientifica della civiltà europea; no, più sommessamente, l’argomento che segue è solo un piccolo excursus sulla geometria (e non solo) ed in particolare su alcune soluzioni che vedono in una certa misura coinvolto il poligono dell’esagono, e null’altro.

Esistono due tipi di Tangram, il Tangram cinese di forma quadrangolare, noto in tempi antichi anche in area mediterranea ed il Tangram circolare o a forma ovale, che è però, una variante più recente ideata in Europa. L’idea didattica che vi è alla base del Tangram classico è una configurazione di alcune proprietà elementari delle figure geometriche, cioè la forma, la simmetria, il rapporto tra le dimensioni e l’equivalenza. Il Tangram è adatto all’apprendimento matematico dei bambini proprio perché li mette in confidenza con l’idea portante di tutta la geometria euclidea, quella dell’equivalenza e soprattutto mostra tramite il meccanismo del gioco come figure aventi profili o forme differenti, in realtà possono risultare uguali tra loro, avendo in fondo la stessa superficie. Tuttavia, chi ha giocato al Tangram cinese sa che le figure che possono venire composte sono tutte forme lineari, cioè quelle che in precedenza indicavo come figure a linea spezzata, pertanto non è possibile ottenere figure e superfici che abbiano un profilo curvo. Viceversa, se si giocasse al Tangram con i pezzi ovali non si avrebbero figure lineari, a meno che in uno sforzo creativo si mischiassero i pezzi dei due modelli e potremmo forse, comporre figure di vario genere, ma in questo caso verrebbe a mancare un presupposto fondamentale nella geometria euclidea, cioè che forme avente la stessa estensione in determinate condizioni possono risultare uguali: la superficie è il termine costante nel rapporto di proporzione tra le varie figure. In tal senso, per ottenere un buon compromesso di convertibilità tra figure lineari e figure curve dovremmo sezionare il Tangram in pezzi geometrici non solo molto più piccoli del Tangram classico (che ammette un quadrato e poi triangoli di varie dimensioni), ma soprattutto asimmetrici e irregolari, come accade nell’Ostomachion di Archimede. Ma ciò non è possibile, in quanto il dissezionamento del Tangram cinese è operato seguendo proprio le tecniche di composizione geometrica basate sull’uso di riga e compasso, eppure proprio l’uso di questi strumenti lascia intendere l’esistenza di una qualche correlazione tra la geometria lineare e la geometria curva.

Questa correlazione non è molto evidente come potrebbe pensarsi, perché richiede anche una misura che la matematica greca antica era lontana dal possedere. Per tale ragione, la geometria dei cerchi viene vissuta dalla teoria matematica antica come un capitolo eccezionale, ma per nulla ordinario come l’intera disciplina della geometria e ciò a causa delle proprietà intrinseche di un cerchio, proprietà che sono esclusive (ma non troppo) di questa figura geometrica. Ciò ha determinato quasi una posizione staccata della geometria dei cerchi dalla geometria lineare, come ricorda il matematico italiano Piergiorgio Odifreddi in un suo intervento sulle geometrie non euclidee (La matematica raccontata da Piergiorgio Odifreddi, 2017 Le Scienze S.p.A., Roma), ma è in fondo tutta la cultura e la scienza europea a partire dall’epoca medievale a considerare la geometria dei cerchi una specie di geometria speciale, tanto da divenire modello di preferenza per l’astronomia con il sistema di Claudio Tolomeo, soprattutto sotto l’influenza notevolissima della filosofia aristotelica: è il modello del cosmo geocentrico di derivazione pitagorica, dove la Terra è immobile e tutti gli altri corpi celesti, escluso il Cielo delle Stelle Fisse, ruota su orbite di forma circolare. Ora, la cultura matematica greca non disconosceva la geometria dei cerchi, ma aveva mostrato qualche difficoltà nel gestire il rapporto di equivalenza che intercorre con le altre figure lineari, poiché entrambi giacenti sul medesimo piano euclideo. A ciò si aggiunge che non esisteva un metodo unico e quindi, rimaneva molto forte la sensazione di incertezza sulle misure relative ad una curva. Tuttavia, uno stratagemma per ovviare a questa situazione viene elaborato proprio dagli antichi greci, ma bisogna partire dal noto Teorema di Pitagora.

È noto che ciò che l’attuale cultura matematica indica con il titolo di Teorema di Pitagora è un teorema già conosciuto prima che venisse assegnata la paternità al famoso filosofo ed è altrettanto noto che di questo stesso teorema esistono altrettante dimostrazioni, qui interessa solo la sua definizione. Il teorema asserisce che il quadrato costruito su un lato di un triangolo rettangolo, detto ipotenusa, è uguale alla somma dei quadrati costruiti nei rispettivi lati di detto triangolo, chiamati a loro volta Cateto maggiore e cateto minore. In formula il dettato del teorema viene espresso dall’equivalenza

i² = C ² + c ²           (1).

Il ricorso al Teorema di Pitagora è necessario a questo argomento, perché è da un certo utilizzo del teorema che derivano le ragioni che sono alla base dell’espressione «quadratura del cerchio» e soprattutto di un certo tipo di attività sulle superfici curve, da cui deriva a sua volta il poligono dell’esagono. Il Teorema di Pitagora è infatti, alla base di uno stratagemma ideato da Ippocrate di Cos, vissuto tra il V secolo a.C. ed il IV secolo a.C. Ippocrate ideò nuovi oggetti geometrici, dette lunule, che descrivono non una curva perfetta, ma una linea continua falciforme alla quale poteva applicarsi appunto, detto teorema. Per spiegare come ciò sia possibile, mi affido alla descrizione del matematico di origini australiane Peter M. Higgins [Mathematics for the Curious, 1998]. L’attuale modello teorico insegna che l’area di un cerchio è pari a 2πr², cioè al prodotto della misura del raggio elevato alla potenza di 2 per una costante π (pi greco) presa due volte. In questa fase non ci interessa l’intero cerchio, ma solo metà di esso, cioè l’area del semicerchio costruito sull’ipotenusa di un triangolo rettangolo, da cui si ottiene la seguente equivalenza:

Area del semicerchio: (π / 2) (a / 2)² = (π / 8) a²              (2).

Il termine “a” della formula indica la misura dell’ipotenusa su cui è costruito il semicerchio. Se applichiamo (2) alla formula del Teorema di Pitagora si ha che (1) diventa

(π / 8) c² = (π / 8) a² + (π / 8) b²     (3).

Da (3) si evince chiaramente che facendo uso del teorema si ottiene che l’area totale dei semicerchi costruiti sui cateti di un triangolo rettangolo è uguale all’area del semicerchio costruito sull’ipotenua, pertanto, afferma Higgins, si può concludere in generale che «potremmo sostituire i quadrati con qualunque altra analoga figura la cui area sia proporzionale al quadrato della lunghezza del lato» (Peter M. Higgins, ed.it., Divertirsi con la matematica, 2017, p.78). Ciò significa che il quadrato costruito sull’ipotenusa nel dettato del teorema è analogo al semicerchio costruito sulla corda di circonferenza e quindi, dimostrando che esiste questa equivalenza si può ammettere in via teorica che sull’ipotenusa del triangolo rettangolo si possa costruire qualsiasi altra figura (curva) e non solamente quadrati!

Come ciò sia possibile, basti considerare un quadrato, tracciare una diagonale e costruire sulla linea di ipotenusa l’arco di un semicerchio come presentato nella figura 1. La figura descrive un quadrato ABCD con un semicerchio ABC costruito sulla sua diagonale AC. Lungo la diagonale viene indicato il punto medio M. Inoltre, si è costruito un semicerchio sulla misura del lato AD del quadrato sul lato AC. In questo modo, il compito è calcolare l’area grigia del disegno.

Intuitivamente si osserva che l’area della lunula costruita sul triangolo ABC è equivalente all’area di detto triangolo, perché

• Il segmento circolare delimitato dalla corda AC è simile ai due settori circolari indicati con i numeri 2 e 3: avendo la stessa forma significa che hanno la stessa dimensione.
• I due triangoli, AMB e BMC, sono simili in quanto sono entrambi due triangoli isosceli.
• In riferimento al Teorema di Pitagora l’area sottesa dalla regione 1 è uguale alla somma delle due aree dei segmenti circolari 2 e 3, entrambe costruite sui cateti di un triangolo rettangolo.

Si può concludere che l’area del triangolo ABC è uguale a metà di circonferenza per il prodotto delle singole unità dei settori circolari, quindi 1 / 2 x 1 x 1 = 1 / 2.

Certo, il risultato è una frazione, tuttavia bisogna contestualizzare l’attuale impressione ad un paesaggio teorico dove la scena non è dominata dai numeri frazionari (tranne ovviamente quelli di forma 1 / n) o dai numeri irrazionali, come è in questa fase dell’attuale civiltà, ma è dominata dai numeri interi, per cui il risultato deve equipararsi ad uno sforzo intellettuale dove questo numero indica che l’operazione geometrica è perfettamente realizzabile, ma su cosa sia quel numero in effetti rimane per la teoria matematica greca antica un enigma che solo la matematica dei secoli successivi risolverà. Ora, Ippocrate dimostra che gli strumenti della geometria lineare possono essere estesi anche alle superfici curve e quest’ultime a loro volta, possono essere processate come un qualsiasi altro poligono lineare.

Ciò detto, supponiamo di operare su un parallelepipedo di cui si traccia una diagonale come riportato in figura 2. Ciò che si osserva subito è che il quadrilatero in questione è diviso in due triangoli, ABC e ACD, ma se si disegna l’altezza h si ricavano un piccolo triangolo e il parallelepipedo diventa un trapezio, la cui area è uguale a quella di un rettangolo, Base per Altezza, ma diviso 2. In base a quello che si è detto prima, l’area del rettangolo così ottenuto è equivalente all’area della circonferenza, per cui si ha la seguente equivalenza:

1 / 2 bh = 1 / 2 (2 πr) r = πr²             (4)

La scrittura (4) rivela infatti, che il triangolo di partenza ABC ha un’area che è equivalente a quella di una circonferenza, per cui è possibile ipotizzare che l’area di detta circonferenza possa rappresentarsi anche come una triangolazione della sua stessa superficie. Ciò ci viene confermato dalla situazione degli angoli interni del triangolo la cui somma è uguale a 90°. Facendo coincidere un vertice del triangolo infatti, con il centro della circonferenza ed ipotizzando che questo centro sia anche il centro della figura che si ottiene per n numero di triangoli che insistono su questo centro, la somma di tutti questi triangoli costruisce un poligono regolare di n lati. Questa situazione è descritta dalla seguente formula:

n (1 / 2 bh)           (5).

La formula (5) ricorda la scrittura (4), a cui si aggiunge il prodotto per n volte della quantità espressa da 1 / 2 bh. Inoltre, con b si indica il perimetro del triangolo e con h la distanza tra la sua base ed il centro della circonferenza, così facendo la formula (5) inscrive l’area del poligono nella superficie della circonferenza, o altrimenti detto divide la superficie del cerchio nel poligono di n triangoli. La triangolazione della circonferenza così realizzata descrive oltre che una divisione geometrica della superficie del cerchio, anche l’inscrizione di un poligono entro l’area di una circonferenza: l’inscrizione del poligono entro una circonferenza può essere verificata tramite la struttura degli angoli interni, la quale rivela la simmetria che sussiste tra cerchio e poligono. Un modo intuitivo è quello che una volta si insegnava (non so se lo si fa ancora) alle scuole medie inferiori e consiste nel disegnare un poligono dentro un cerchio e tracciare a partire dai suoi lati dei prolungamenti; ciò fatto, se i prolungamenti procedono esternamente alla circonferenza si dice che il poligono è perfettamente inscritto (o circoscritto), altrimenti non lo è: e ciò in ragione della natura degli angoli che configurano il poligono in questione, infatti come è noto gli angoli sono classificati in due tipi, convessi o concavi, pertanto nel caso di un poligono perfettamente inscritto in una circonferenza si dice che il poligono è convesso, altrimenti concavo (cfr. A. Branzi – P. Vassano, Geometria per la scuola media, 1969 Paravia).

La regolarità del poligono inscritto in un cerchio è data dalla sua struttura degli angoli, che tra le altre cose ciò che descrive la stessa proprietà di simmetria con il cerchio. Ebbene, un poligono di questa natura ha la somma dei propri angoli interni uguale al valore dell’angolo di una circonferenza, che equivale ad un angolo giro, cioè a 360°: è evidente che un poligono inscritto è un oggetto il cui centro coincide con il centro della circonferenza e quindi, è evidente che la somma interna dei suoi angoli sia uguale all’angolo giro che caratterizza il cerchio. L’angolo giro finora è stato espresso in termini di 2π (pi greco), perché il π (pi greco) è quel numero con il quale viene descritto il rapporto tra il diametro e l’intera superficie del cerchio, espresso come si è visto, dalla potenza di due del raggio. Ora, poiché il valore che ci interessa è l’intero cerchio, il prodotto πr² deve raddoppiarsi, ma così facendo il valore che assume coincide con l’intero angolo del cerchio, cioè l’angolo giro. Ecco perché nell’analisi geometrica quando ci si riferisce ad un cerchio il π (pi greco) viene solitamente indicato come l’unità di misura degli angoli ed in questo caso viene detta radiante. Il rapporto che un cerchio instaura con altri oggetti del piano compone l’oggetto di studio della geometria trigonometrica e più in generale di una disciplina detta topologia, la quale studia le proprietà delle forme e dello spazio entro cui vengono collocate. Ma non approfondisco questo aspetto, almeno non ora.

Proseguiamo con l’esempio del triangolo inscritto in una circonferenza.

Immaginiamo di inscrivere una figura poligonale di n lati, a.e. di n = 6. Suddividiamo detto poligono tramite la triangolazione in sei triangoli che si incontrano su uno stesso punto interno alla circonferenza come riportato dalla figura 3. Per definizione la somma degli angoli interni alla circonferenza dove essere equivalente al valore di un angolo giro, cioè a 2π (pi greco), per cui il valore espresso dal poligono è dato dalla seguente formula:

nπ - 2π = (n – 2) π              (6), con n>2.

Es., dato un triangolo la somma degli angoli interni in base alla scrittura (6) deve essere uguale a π (3 – 2) = π.  

   

Tabella dei rapporti delle superfici tra alcuni quadrilateri
	Lati poligono	Apotema	Superficie
Quadrato	4	2	4
Pentagono regolare	5	3,44	34,4
Esagono regolare	6	5,196	62,352
Ettagono regolare	7	7,266	101,724
Ottagono regolare	8	9,656	154,496

[I valori della tabella sono calcolati su poligoni di lato 2. Lo scopo è evidenziare come pur rimanendo costante il valore di lato, il profilo del poligono influisce sul valore complessivo della sua superficie]

Con il valore assegnato di 6 ad n è intuitivo che il poligono che si è venuto a costruire intorno al centro del cerchio è appunto un esagono e che questo poligono deriva dalla triangolazione indicata in precedenza (cfr. tabella di sopra). Ora, l’esagono è una forma interessante, perché ricorre sovente in molti sistemi biolgico-naturali (e non solo), ma anche in strutture come i cristalli che descrivono la disposizione spaziale dei componenti del cristallo in questione. I motivi per cui sia ricorrente sono molti, si va dalla tensione superficiale alla razionalizzazione dello spazio nella regione occupata dal sistema, come nel caso dell’ordine delle fiorescienze di alcune piante, in ogni caso l’esagono non è l’unica figura ad avere questa caratteristica. Se si osserva lo studio di come sia possibile realizzare una tassellatura, cioè la copertura di una superficie piana e/o sferica, ci si rende conto che la forma esagonale è assieme ad altri poligoni (es. quadrato e triangolo) quella ricorrente, perché nel pavimentare una superficie si ottiene il risultato di coprire l’intera superficie senza lasciare spazi: basti osservare con cura il proprio pavimento di casa o la piastrellatura del proprio bagno per osservare geometrie regolari o variegate, ma tutte entro una stessa prospettiva concettuale quella di comporre una superficie le cui unità si trovano disposte ed orientate secondo alcuni precisi criteri. Questi criteri sono quelli della simmetria descritta nel rapporto tra poligono e cerchio.

In Coppie, numeri e frattali (2005) Rob Eastaway e Jeremy Wyndham rivelano che in alcune situazioni questa regolarità simmetrica risulta essere meno funzionale di quel che si vorrebbe o che l’esperienza scolastica suggerirebbe: un esempio sono le cassette delle bibite, infatti una disposizione esagonale non è molto funzionale per l’impacchettamento di nove lattine, perché con la stessa base (ovviamente quadrata) si dispongono un minor numero di oggetti rispetto ad una disposizione che appare meno regolare, cioè più dispersiva di spazio; in questo tipo di problemi di impacchettamento o nell’imballaggio di tipo industriale a.e., è poco usuale che si ricorra ad una disposizione esagonale, perché dispendiosa: dipende quale sia l’interesse che predomina. A volte però, ciò che conta è l’efficienza funzionale vera e propria, come accade nei sistemi biologico-naturali. Sempre i due autori menzionati in Probabilità, numeri e code (1998) offrono un esempio semplice, ma estremamente chiaro di come la forma esagonale possa essere una risposta efficiente ad alcune esigenze specifiche. Di forma esagonale è la struttura interna degli alveari. Il motivo per cui un sistema biologico-naturale come i favi delle api si strutturino in questo modo ci viene fornito dalla teoria dei grafi: per chi non lo sapesse il grafo è un oggetto astratto, sovente di forma lineare, con il quale si descrive la struttura di un sistema o la sua attività algoritmica tramite una trama di punti, detti nodi, e linee. Nell’esempio che è stato proposto la teoria dei grafi interviene per descrivere il tracciato di un percorso, in questo caso degli spostamenti interni all’alveare di un’ape.

Prendendo come modello di riferimento lo schema di Figura 4, supponiamo di descrivere lo spostamento di un’ape lungo il reticolato esagonale proposto; e supponiamo di far muovere il piccolo insetto a partire dalla cella con il titolo “A”. Se l’ape muove dalla cella A e la sua destinazione è solo la cella B, è evidente che effettuerà un solo percorso, perché è l’unico possibile; se però, la sua destinazione è la cella C, i percorsi possibili sono invece, due, A-B-C e A-C; se invece, la destinazione finale è la cella D, i percorsi realizzabili sono A-B-C-D, A-C-D, A-B-D; se invece, è la cella E, i percorsi sono ancora più vari, A-B-C-D-E, A-B-D-E, A-C-E, A-C-D-E, A-B-C-E; e così via. Il vantaggio di questa struttura geometrica è quello di occupare tutta l’estensione dello spazio senza lasciare alcuno interstizio vuoto: ciò significa che lo spostamento dell’ape è estremamente efficiente, in quanto in caso di intoppo lungo una direzione può variare percorso e scegliere di volta in volta il percorso più breve su cui può dirigersi.

L’idea di base di questo tipo di problemi è la stessa che si è trovata nella triangolazione del cerchio, cioè quella di dividere una estensione superficiale secondo una struttura regolare composta da unità poligonali: nel caso della triangolazione queste unità sono triangoli, nel caso dell’alveare proposto sono esagoni regolari. Bisogna pensare a questo tipo di analisi geometrica come un particolare problema di disposizione spaziale di un certo numero di oggetti, ma anche come un problema di dissezione di un piano: es., data una stecca di cioccolata composta da 49 quadrati, il numero di tagli che possono effettuarsi su questa stecca è pari a n -1, cioè a 48; in questo caso, il numero di tagli indica anche il numero dei modi possibili di come effettuarli.

Generalizzando, questo tipo di relazioni tra poligoni e circonferenza vengono descritta dalla seguente formula:

k (n – 2) / n π = 2 π             (7).

Utilizzando l’esempio di prima, cioè di n = 6, se si sostituisce il valore intero di 6 ad n della formula (7) si ha che il rapporto (n – 2) / n è uguale a 2 / 3, per cui il valore di k deve essere un numero intero positivo che si trovi tra 2 e 3: la scrittura 2 / 3 k π è uguale o equivalente a 6 / 3 π, cioè al valore di 2 π. E ciò vale per qualsiasi poligono con il valore di n lati.

La quadratura del semicerchio di Ippocrate e più in generale la triangolazione di una circonferenza rivelano la validità della estensione dei metodi costruttivi della geometria lineare anche alle superfici curve, ma questo stesso procedimento suggerisce anche dell’incongruenze concettuali estremamente sconvolgenti. La meccanica dei moti lineari uniformi ha abituato il pensiero fisico a ragionare su alcune conseguenze ottenute dall’applicazione dei metodi geometrici alla descrizione empirica degli eventi; una di queste è la proporzionalità delle grandezze fisiche, ravvisabile nella convertibilità di spazio, tempo e velocità nelle note tre leggi fondamentali del movimento lineare: è sufficiente conoscere due delle tre grandezze interessate, che la terza è nota tramite la struttura aritmetico-geometrica che le tiene assieme. Ma non è sempre così e ciò senza tirare in ballo la teoria della relatività di Albert Einstein, che pure ha contribuito in modo decisivo all’abbandono di questo paesaggio concettuale.

Si prenda spunto dall’esempio dell’ape nell’alveare. Se si ipotizza di voler pianificare un certo percorso avente una destinazione specifica, in base a quello che è stato detto in precedenza basterebbe applicare le soluzioni della geometria lineare. Secondo la geometria lineare infatti, la distanza che si dovrebbe percorrere si calcola tramite il Teorema di Pitagora, cioè come l’ipotenusa di un triangolo rettangolo. Ora, se si disegna su una mappa gli estremi dello spostamento e si disegna inoltre, un triangolo rettangolo facendo coincidere la distanza tra i due estremi lungo la linea dell’ipotenusa, il calcolo che si dovrà ottenere è quello dell’ipotenusa. Pertanto, questo valore descrive la distanza effettiva che si è deciso di percorrere, ma il valore così ottenuto non è la distanza reale.

Infatti, si veda cosa succede.

L’immagine qui sopra è derivata dal libro di Joan Gomez Urgellés (2010) e pubblicato in Italia dalla RBA Italia (Milano) con il titolo Quando le rette diventano curve. Le geometrie non euclidee (2015). Qui, si suggerisce di effettuare uno spostamento urbano dal punto A al punto B. Supponendo di disegnare un triangolo rettangolo e che le abitazioni siano comparabili ad una unità, i valori di cateto sono rispettivamente per il cateto maggiore 4, mentre per il cateto minore 2. In base al Teorema di Pitagora si avrà che la distanza è uguale alla radice della somma dei quadrati dei due cateti, per cui a

(4) ² + (2) ² = i ² = 16 + 4 = 20;

Da cui si ottiene il valore di ipotenusa di 4,47. In base a questo risultato la distanza percorsa è poco più di quattro unità. In realtà, la presunzione su cui si fonda la rappresentazione non è corretta, perché lo spostamento non avviene in linea retta come vorrebbe la rappresentazione del teorema, ma in modo arzigogolato (come si intuisce). Se si calcola invece, il tempo di percorrenza si osserva che si giunge a destinazione solo dopo 6 abitazioni e non dopo le 4 indicate dalla formula. C’è un’incongruenza evidente nel teorema, in quanto la sua formulazione si muove sul piano astratto ed ideale e non tiene conto che nel calcolo di una distanza i valori in gioco non sono quelli richiesti dalla formula, ma sono due coppie di coordinate che fissano gli estremi di due differenti posizioni spaziali (punto di partenza e punto di arrivo). A tal riguardo, il matematico tedesco Hermann Minkovski sostituisce ai valori dei cateti le rispettive coordinate spaziali e si ottiene la seguente formula:

P = (x₁, x₂), Q = (y₁, y₂)         d(P, Q) = |x₂ – x₁| + |y₂ – y₁|             (8)

La formula (8) ha una piccola, ma decisiva variazione rispetto alla formula del Teorema di Pitagora, e cioè quella di riformulare il contenuto del teorema in termini di coordinate spaziali e soprattutto, di riconvertire il piano concettuale su cui si poggia il teorema. I valori delle coordinate infatti, diventano valori assoluti, cioè sono tali indipendentemente dal segno positivo o negativo che possono esibire, il che è evidente, visto che i valori in questione sono quelli della posizione di un punto nel suo sistema di riferimento, o di coordinate. Questa scrittura pertanto, è chiamata distanza di Minkovski.

La descrizione dei tempi di percorrenza trasforma la distanza in un sistema di relazioni possibili composto dal numero delle limitazioni che condizionano il movimento stesso e dal numero di permutazioni che può effettuarsi su di esso, cioè il numero di variazioni previste in quelle stesse condizioni. È quello che si è detto nel caso dello spostamento dell’ape dentro l’alveare; se si considera il percorso dell’ape come la distanza tra la cella A e la cella di destinazione, la direzione e la distanza effettivamente percorsa dall’insetto è determinata

• Anzitutto, dall’intervallo spaziale, cioè dagli estremi spaziali che rappresentano lo spazio del suo movimento o spostamento.
• Dal numero di variazioni che l’ape può applicare al suo percorso: se una direzione è ostruita, la scelta ricade sulla via accessibile e più breve.

In formula, indicando con PP la coppia numerica dei percorsi possibili si avrà che

PP ^n,m = (n + m)! / n! m!                    (9)

Pertanto, con il termine n si indicano le limitazioni, nel nostro caso la direzione da A a B, mentre con il termine m le permutazioni applicate al percorso in questione. Utilizzando i valori dell’esempio precedente e applicando la formula (9) si avrà quanto segue:

n = 4, m = 2           (4 + 2)! / 4! 2! = 15 movimenti possibili.

Quest’ultime considerazioni forniscono una descrizione analitica antitetica all’ideale concettuale della matematica antica e che ha finito per condizionare l’intero paesaggio culturale europeo, cioè la presunzione che la regolarità, la simmetria e l’ordine uniforme siano non solo dei valori culturali e spirituali da affermare, ma l’essenza ontologica della struttura profonda della realtà. Gli ultimi esempi incentrati sul calcolo dei percorsi e sui tempi di percorrenza rivelano che quella idea astratta, così potente e così intuitiva, descritta e rappresentata dalla geometria delle figure piane è intrinsecamente incongruente allo stato effettivo della realtà empirica, in un certo senso la realtà empirica non si muove secondo la razionalità dell’intuizione, ma secondo una caoticità che è antitetica all’umana presunzione dell’intuizione. E tuttavia, pur con questi limiti congeniti la geometria rimane, una volta ben appresa, qualcosa di affascinante, a volte anche di divertente. Ciò la rende qualcosa in cui coesistono sia i tratti della disciplina rigorosa come voleva Euclide e dopo di lui tutto il pensiero scientifico europeo, sia i tratti di un puro gioco dell’astrazione, che mal si accorda con l’esigenza di serietà che la scienza richiede. In ogni caso, tornando alle premesse di queste righe, si è visto come l’espressione della «quadratura del cerchio» sia meno azzardata di quello che il lessico ordinario le riconosce e come sia in fondo la formula di una verità parziale, tramite la quale però è stato possibile costruire poligoni come l’esagono i quali esibendo la stessa proprietà di simmetria con il cerchio avanzano la pretesa (creativa) di riuscire a convertire una figura dalla linea continua come è il cerchio in una figura lineare.

Post Scriptum. Nel 1884 Edwin A. Abbott pubblica un romanzo intitolato Flatlandia, dove narra le vicissitudini di una popolazione sui generis composta da figure geometriche. È un racconto inusuale, perché la realtà descritta non è quella ordinaria, ma una astratta realtà a due dimensione. A quest’opera fa seguito un altro racconto fantascientifico dal titolo Sphereland, dove i protagonisti sono l’altra metà del cielo della geometria euclidea, cioè i cerchi ed i settori circolari. Le opere citate sono note agli appassionati e non so quanto possano definirsi dei veri e propri capolavori letterari, anzi forse non lo sono proprio, ma poco importa. Tuttavia, questo genere di esperimenti letterari o pseudoletterari, a dire il vero, contribuiscono a sensibilizzare un certo pubblico di lettori al ragionamento analitico ed in questo caso geometrico e di cimentarsi con esso senza però, l’assillo del “sentirsi alle strette” o del “sentirsi alla prova”, tanto che tramite il racconto di Flatlandia possono trasmettersi alcune nozioni di geometria o situazioni analitiche che si presentano solo sotto forma di tediosi problemi didattici. L’opera letteraria di Abbott pertanto, si trova citata da Martin Gardner e da altri divulgatori soprattutto quando si tira in ballo la geometria, forse perché in questo modo la si rende più simpatica, o forse perché (ed è ciò che temo maggiormente) è decaduta una delle ultime roccaforti, assieme alla stessa teoria della matematica, contro l’antropotipizzazione narrativa ricorrente nella prosa letteraria e poetica. Quest’idea di rendere più simile all’uomo medio qualcosa che il pregiudizio sociale e culturale etichettano come autoreferenziale, incomprensibile, astruso ed astratto mi raggela, perché si basa sullo stesso principio per cui se qualcosa o qualcuno non ci sta simpatico è legittimato a subire meritatamente la demonizzazione sociale e l’ostracismo culturale. Sì, capisco che in questo modo si vuole creare una condizione didattica che renda agevole l’apprendimento ad ogni studente di qualsiasi età, ma siamo realmente sicuri che ciò renda migliore o più solida e convincente l’azione teorica delle discipline pure? Non mi sembra, anzi ciò agevola ancora una volta certi creativi del falso a formulare idee e convincimenti che si arrogano la patente di profeti di verità assolute, che sono scesi dalla montagna o dalla torre eburnea della cultura accademica e specializzata a presentare o venire a presentarsi al mondo (o al volgo? Fate voi..), sovente in modo interessato, come dicitori di “cose scientifiche” o “oggettive” e quindi, la loro parola deve dirsi e accogliersi degna di stima, di considerazione e adorazione. Non lo credo, e quando ciò succede mi rodo nervosamente, perché questi personaggi sono sempre quelli tediano con la loro fede popperiana, fede che personalmente maneggio con una certa cura e spesso con diffidenza. La conoscenza della scienza è qualcosa di serio, anche di estremamente noioso, ma decisivo e fondamentale e non ha nulla a che fare con la faciloneria che una certa creatività letteraria e massmediatica pretende di divulgare. Vorrei dire, o forse auspicherei che questo genere di situazioni non mi avranno mai, ma mentirei spudoratamente, visto che sono in cerca di sponsor anche io e tuttavia, non riesco a trattenermi dal dire la mia, pur sapendo che è antipopolare, controtendenza e inutile, oltre che controproducente.