Funzioni esponenziali e diffusione dell’infezione. Spunto sull’attualità del covid-19

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L’attualità coinvolge ogni esistenza, in qualunque forma questa si presenti se come evento di storia, se come prodotto culturale, oppure come in questi giorni sotto forma di infezione virale. L’infezione di covid-19, noto alle cronache giornalistiche con il termine più comprensibile di “coronavirus”, non è di quelli che non hanno precedenti, perché alcuni anni fa altre infezioni hanno flagellato territori e popolazioni: in Italia prima di questa la più importante epidemia contagiosa che si ricordi è quella nota come “epidemia della mucca pazza”, un’epidemia che colpiva i pascoli bovini, ma che poteva trasmettersi all’uomo con il consumo di carne dei capi infetti macellati. Fuori dall’Italia più recente vi è stata la Sars, un’epidemia virale di tipo influenzale, molto simile per certi aspetti con l’attuale epidemia di covid-19; infatti, la struttura del virus è molto simile e compatibili sono alcune modalità del virus, che in ogni caso viene considerato dagli esperti virologi come un ceppo di nuova generazione e di cui si conosce ben poco.

Un’ignoranza fatale questa da parte della scienza medica ed in fondo, delle stesse istituzioni mediche nazionali e internazionali, perché lascia un campo sgombro da controlli nella comunicazione e nella narrazione intorno al covid-19, identificato solo in febbraio quando già la diffusione in Cina toccava curve elevate. Il dato più importante nelle fasi iniziali della vicenda relativa al covid-19 è anzitutto la portata globale del contagio, nonostante le estreme misure di contenimento che il governo cinese ha predisposto, ciò non ha potuto evitare la diffusione del virus e quindi, dell’area soggetta al contagio. L’Italia al comparire nella scena internazionale la vicenda dell’epidemia cinese aveva unilateralmente preso provvedimento che a detta del governo nazionale dovevano mettere al riparo la Nazione, ma come è noto così non è stato. A Codogno, in una provincia della Lombardia, si registra il primo decesso per covid-19 e l’insorgere del primo e più importante focolaio infettivo italiano: ad oggi le misure di quarantena attuate dall’amministrazione locale e regionale hanno permesso l’estinzione del contagio a Codogno, ma non ovviamente negli altri territori limitrofi e non solo del territorio nazionale.

Ciò detto, parte della storia relativa al covid-19 in Italia è parzialmente scritta, in quanto sembra che il virus sia arrivato in territorio nazionale non dagli oriundi cinesi di ritorno dal capodanno nei loro rispettivi villaggi o città di origine, ma da un italiano, proveniente probabilmente dal continente asiatico, di ritorno dalla Germania e non passando lungo la via commerciale che verrà bloccata dal governo quando si capirà la potenziale gravità della vicenda. La restante (e triste) parte di storia è ancora da scrivere, in quanto il conto delle vittime o dei presunti decessi legati al covid-19 viene aggiornato regolarmente, anche se c’è sul piano comunicativo una non indifferente confusione sul dato nazionale e su quello internazionale: ciò confonde e crea una ingiustificata ansia, ma questi sono effetti della ridondanza del sistema della comunicazione contemporaneo a cui non è facile abituarsi, anche se lo dovremmo essere da tempo. Pertanto, per quanto riguarda questo scritto non mi interessa scrivere la storia di questa infezione, in quanto altri la stanno scrivendo e credo (e spero) con qualche nozione molto più precisa di quelle che possiede il sottoscritto, mentre mi interesse ragionare su questa vicenda e su vicende simili da un punto di vista differente da quello della costruzione (o ricostruzione) narrativa che può derivarsi dalla comunicazione.

Riferimento di quanto segue è un capitolo contenuto nel libro del 2002, dal titolo How long is a piece of string? More hidden mathematics of everyday life, edito in Italia nel 2005 dalla Dedalo Edizioni s.r.l., con il titolo di Coppie, numeri e frattali di Rob Eastaway e Jeremy Wyndham. Il capitolo in questione ha per oggetto una descrizione della struttura matematica che vi è alla base dei meccanismi di diffusione e di contagio biologico: ovviamente una descrizione molto divulgativa e non particolarmente tecnica. Il capitolo inizia ricordando un evento storico notissimo, cioè la diffusione in Europa di una letale infezione, all’epoca soprannominata la Morte Nera, importata dai mercanti genovesi in Europa e in Italia intorno alla metà del Trecento: in questo caso l’infezione era stata provocata da un batterio, il Yersinia pestis, presente nelle pulci dei topi e la cui virulenza era data e amplificata dalle precarie condizioni igieniche dell’epoca. Sul piano divulgativo gli autori propongono di accostare l’andamento di una diffusione infettiva con il fenomeno del gossip, in quanto sistemi biologici e sistema della comunicazione odierna sono due tipiche e compatibili realtà organizzate i cui procedimenti agiscono appunto, secondo questa loro struttura. Al pari di un contagio virale due sono gli aspetti che interessano nella descrizione di questo processo:

1. La crescita esponenziale del contagio e quindi della diffusione.
2. Il fattore di diffusione.

Per capire cosa siano gli autori propongono il seguente esempio. Immaginiamo che una persona venga a conoscenza di un fatto rilevante che coinvolge la propria sfera privata o quella di un suo conoscente; ed immaginiamo che da parte di questo soggetto ci sia riservatezza (restrizione costante) nella diffusione del gossip, tanto che la confidenza viene fatta solo a due dei suoi amici. Se immaginiamo una situazione di trasmissione del gossip con un intervallo di tempo di mezz’ora e lasciamo al contempo le stesse restrizioni relative al primo soggetto è possibile ipotizzare che dopo la seconda mezz’ora le persone coinvolte nel gossip siano date dalla formula numero di persone che diffondono il gossip soggette alle restrizioni elevato al numero degli intervalli che scandiscono la diffusione, vale a dire una funzione esponenziale del tipo y = a^x, dove con “a” si indica un numero reale e positivo diverso da 1, mentre con “x” si indica un qualsiasi numero reale, ovviamente in rapporto di correlazione con a. Il caso espresso tuttavia, rivela una condizione della funzione esponenziale y dove il termine “a” è maggiore di 1, infatti si è detto che è 2, pertanto la scrittura della funzione sarà la seguente:

y = 2^x     (1).

I valori della funzione descrivono una sequenza numerica che può essere rappresentata da una curva esponenziale, cioè da un grafico dove tutti i valori della serie compongono i punti di una curva che ha uno sviluppo ascensionale e positivo. Ora, se si ammette come condizione che la diffusione del gossip, cioè la confidenza, ha un intervallo di tempo di mezz’ora, vuol dire che ogni mezz’ora due persone saranno a conoscenza del gossip e così per tutto l’intervallo di tempo dell’osservazione del fenomeno in questione (supponiamo una giornata di 24 ore). Assegnando un valore alla scansione temporale, si ha una serie di valori di questo tipo:

1 + 2 + (2² = 4) + (2³ = 8) + (2⁴ = 16) + … + (2²⁴ = 16.777.216) = 33554431 (2)

Le funzioni di questo tipo appartengono alle funzioni a coordinate dipendenti, cioè i valori che vengono inseriti dentro la stessa struttura sono correlati tra loro e quindi, una modifica di uno di questi valori determina un cambiamento nel valore correlato ad esso. Questo genere di strutture a.e., caratterizzano la descrizione aritmetico-algebrica del comportamento di un corpo che si muove a velocità costante (moto uniforme e rettilineo), basti considerare il rapporto aritmetico-algebrico che sussiste tra le tre grandezze fondamentali della Meccanica Generale, cioè lo spazio, il tempo e la velocità: è sufficiente conoscere due di queste grandezze per sapere della terza. Di più, la sequenza (2) non è una semplice somma, ma è una progressione numerica vera e propria, in questo caso chiamata progressione geometrica. La teoria delle funzioni definisce una serie numerica in questo modo quella sequenza di numeri per cui “un termine qualunque [sc.: della serie] è uguale al primo termine moltiplicato per la potenza della ragione il cui esponente è uguale al numero dei termini che lo precedono” (definizione tratta da E. Minaudo – E. Ballerino, Nozioni di matematica, vol.3,, 1978 Lattes, Torino). Data una sequenza di ragione q

a¹, a², a³, …, a^n-1, aⁿ, …           (3)

Si ha per definizione

a² = a¹ * q

a³ = a²q = (a¹q) * q = a¹q²

a⁴ = a³q = (a¹q²) * q = a¹q³

….

Da cui risulta

aⁿ = a¹ * q^n-1           (4).

La scrittura di (2) non è altro che la somma dei termini di una progressione geometrica, infatti data come ragione (q) il valore di 2, che è la restrizione determinata dal carattere confidenziale del gossip, e moltiplicando questo per ogni termine della serie in base alle definizioni elencate si ha appunto il risultato di (2).

Il caso considerato è più semplificato, ci si limita infatti a calcolare quante persone vengono effettivamente a conoscenza del gossip e tenendo in considerazione che un arco di giornata vi sono 24 intervalli, conteggiati dalle 8 del mattino in cui il primo soggetto (S) apprende la notizia fino alle 8 del mattino seguente, si può dire che il numero che stiamo cercando è dato dal valore descritto da 2²⁴. Ovviamente viene presupposto che la diffusione del gossip avvenga in modo costante e senza effettive interferenze o variazioni del procedimento medesimo. In ogni caso, l’aspetto che è importante rilevare è che l’impatto che il gossip ha nella formazione di un’opinione dall’alta incidenza pubblica è direttamente correlato non al numero dei diffusori del gossip, ma dall’effettivo potere diffusivo del gossip, cioè da ciò che si è indicato come fattore di diffusione.

Consideriamo un’altra situazione. Immaginiamo che ad apprendere il gossip sia un gruppo di 80 persone, ma che solo il 66% di esse trasmetta effettivamente la diffusione del gossip. La situazione verrà rappresentata dalla serie composta dagli iniziali 80 individui, a cui si aggiungono la 66-esima parte di esse, a cui si aggiungono a loro volta la 66-esima parte di quelle persone che sono state raggiunte e così via; insomma si ha una serie del tipo:

80 + (80 x 0,66) + (80 x 0,66²) + (80 x 0,66³) + (80 x 0,66⁴) + …                (5).

Quest’ultima rappresentazione fornisce una descrizione più verosimile ad un’ipotetica situazione empirica, tuttavia ciò che occorre notare è che la crescita esponenziale della funzione procede secondo un andamento molto diverso. In questo caso le varie quantità che vengono ad aggiungersi sono sempre più piccole rispetto alle quantità precedenti e soprattutto,se nel caso di (2) si può ipotizzare una crescita all'infinito, inarrestabile e apparentemente senza fine, nella scrittura (5) si può immaginare che ad un certo punto la crescita esponenziale cessi di esserci: infatti, la serie numerica in questione è una serie di tipo convergente, vale a dire che la somma di tutti i termini che compongono la sequenza ha un risultato e che non è infinito. Ciò lo si intuisce dal fattore di diffusione che nella sequenza è dato dal numero 0,66: la crescita della sequenza non è infinita in quanto il fattore di diffusione non è uguale a 1, ma è come si vede, inferiore a 1 (0,66 < 1). Questo significa che la diffusione del gossip ha alcuni ostacoli (resistenza) che ne frenano la diffusione, pertanto maggiori sono questi ostacoli più lenta è la diffusione del gossip: in certe condizioni è auspicabile che questa diffusione si arresti totalmente.

Gli autori generalizzano questa situazione con la seguente formula:

Numero totale di persone a conoscenza del gossip = A / (1 – S)        (6),

dove la lettera “A” maiuscolo indica il numero delle persone a conoscenza del gossip, nell’esempio 80, mentre la lettera “S” è il fattore di diffusione, cioè la percentuale di 66 divisa per 100, cioè 0,66. Pertanto, applicando le condizioni di (4) si ha

Numero totale di persone a conoscenza del gossip = 80 / (1 – 0,66) = 80 / 0,34 = 235.

Contrariamente a quello che l’intuizione possa suggerirci, cioè che il numero elevato di persone è un fattore determinante, ciò che si evince da questa situazione è una rappresentazione opposta, cioè che il numero dei diffusori conta molto poco e che la diffusione del gossip dipende dal fattore di diffusione, cioè dalla presenza o meno di ostacoli che ne rallentano l’azione. Se poi aggiungiamo che la semiotica contemporanea ci ha ampiamente messo in guardia sugli effetti di ridondanza che sono tipici del sistema della comunicazione, ci si rende conto come il danno maggiore di una comunicazione deriva dalla comunicazione stessa e non dal contenuto trasmesso. Inoltre, se si applica questo tipo di ragionamento alle infezioni virali (biologia), si evince che il dato rilevante non è la quantità dei soggetti positivi al virus, ma il suo essere contagioso, cioè il suo potere di proliferare e di diffondersi rapidamente.

La biologia diventa il campo in cui applicare questo tipo di conoscenze elementari, ma che rivelano come si compone un certo interesse per quanto riguarda un eventuale uso bellico (olocausto) dei materiali biologici, soprattutto in scenari di bioterrorismo e/o di guerra batteriologica urbana o globale. Il riferimento di Eastaway e Wyndham alla storia Morte Nera è la riproposizione di uno scenario apocalittico che si è realizzato a causa di alcune condizioni materiali che hanno favorito la diffusione del virus. Oggi, la virologia distingue due tipi di peste, peste bubbonica e peste polmonare, entrambe causate dal medesimo batterio presente nei roditori e nelle pulci. Se utilizziamo le semplici nozioni viste prima e ci si trova in uno scenario di bioterrorismo, si evince a.e., che l’uso bellico di una delle due forme di peste appare facilmente gestibile, in quanto il periodo di incubazione della peste bubbonica a.e., è di 2-6 giorni dopo l’esposizione, ma non lo è per virus come quello del morbillo che ha un periodo di incubazione più lungo, che oscilla da 1 a 14 giorni, tuttavia l’intervallo di tempo in cui compaiono i primi segni di contagio è compreso tra i 2 e i 4 giorni. Ciò significa che il virus del morbillo, pur essendo raramente mortale, ha un fattore di diffusione più alto della stessa Morte Nera, cioè della peste. Lo schema che gli autori riportano chiarisce questa situazione.

Fattore di diffusione e periodo di infettività
	Periodo standard di infettività	Fattore di diffusione
HIV	4 anni	3
Vaiolo	25 giorni	4
Influenza	5 giorni	4
Morbillo	14 giorni	17

Eastaway-Wyndham, op.cit., p.141

È evidente che bisogna chiarire i termini di un linguaggio che può ingannarci. Periodo di infettività indica lo stato di positività al virus o al batterio da parte di un soggetto portatore: ciò vuol dire che una volta infetti c’è un periodo di incubazione prima che il virus manifesti la sua presenza. Il fattore di diffusione non indica l’incubazione, ma indica l’infettività del virus, il suo potere di diffondersi in altri soggetti, anche se poi rimane incubato nel soggetto infetto per il periodo sopra indicato. Ciò detto, come si evince dalla tabella la colonna maggiormente interessante riguarda quella del fattore di diffusione, da cui si apprende come il virus del morbillo – che ho usato sopra-, pur avendo una infettività molto blanda, ha di contro un elevato fattore di diffusione, ciò significa che è estremamente contagioso: in uno scenario di guerra batteriologica il virus del morbillo è una potenziale arma bellica, proprio a causa di questa estrema virulenza (cfr. Jake Carson, Surviving Bioterrorism, 2001 [ed.it. Bioterrorismo e armi chimiche. Come sopravvivere, 2003 Edizioni Piemme Economica].

In base a quanto detto finora, la correlazione diretta tra la crescita esponenziale ed il fattore di diffusione lo si può mettere in chiara evidenza pensando che il calcolo del numero dei  nuovi contagiati è il prodotto ottenuto da due grandezze, il numero delle persone contagiate nel momento dell’insorgere dell’epidemia (o della pandemia), indicato con la lettere “I”, e il fattore di diffusione, indicato con la lettera “S”. In sintesi la formula

Nuovi infettati = I x S         (7).

Questa semplice moltiplicazione descrive l’incidenza del fenomeno e quindi, la virulenza del batterio e la velocità di diffusione. Su come determinare il fattore di diffusione è la virologia a stabilirlo, tuttavia ciò che è interessante far notare è che è questo fattore a delineare l’andamento della crescita esponenziale del fenomeno virale: velocità e virulenza sono correlate a questo termine. Indipendentemente dal valore crescente o meno di questo termine, la struttura matematica a cui si riferisce è quella delle funzioni continue: ciò significa che la crescita esponenziale è un procedimento costante e descrive un sistema di relazioni tra le grandezze costante. Il fattore di diffusione (S) infatti, è il termine di una funzione esponenziale che descrive la trama di interdipendenza (continuo) che sussiste tra i numeri di una sequenza o tra i valori di una funzione. Ecco allora, che una relazione esponenziale del tipo

y = a^x     (8),

che è la forma generalizzata di (2) e che descrive una funzione a coordinate dipendenti è un sistema di relazioni costanti che si ripete per tutta la lunghezza della sequenza numerica. Nel caso in cui il termine “a” sia un numero positivo diverso da 1 e x sia anch’esso un numero positivo, la funzione che si ottiene è un logaritmo di y in base a. Pertanto, si avrà che (8) può scriversi nel seguente modo

y = log_a x               (9).

Ciò significa che come nella funzione esponenziale il valore di y cambia al variare della potenza, anche in questo caso il valore del logaritmo, cioè della composizione dei polinomi che costituiscono la sequenza numerica, cambia anch’esso e assegna uno e un solo valore alla funzione di y. Questo tipo di funzione è detta funzione logaritmica. E il grafico che si ottiene è una curva detta curva logaritmica.

Il ragionare in termini di logaritmo credo che si intuisca di per sé, essendoci una crescita costante di valori, cioè di numeri, questa espansione della sequenza avviene tramite un andamento ricorsivo che si realizza per tutta la lunghezza sella serie: anche nel caso di un’epidemia il ragionamento è il medesimo, l’infezione si diffonde secondo una modalità costante e che la teoria delle funzioni dell’attuale modello teorico descrive in termini di polinomi raggruppati. In tal senso, il fattore di diffusione descrive questo tipo di situazione, cioè un raggruppamento di polinomi.

Questo sistema di relazioni costanti ha un preciso numero di riferimento detto Numero di Eulero, indicato con la lettera “e” minuscola, dal nome del grande matematico svizzero che la scoprì e ne definì il funzionamento nelle equazioni esponenziali. Il numero e, oppure costante e, è un numero irrazionale e trascendente il cui valore equivale al limite per n tendente all’infinito dell’espressione

(1 + 1 / n) ⁿ            (10)

e che è approssimato al seguente valore

e = 2,7182818284…            (11).

Tale numero rappresenta la base dei logaritmi naturali (cfr. Sandro Caparrini, Eulero. Dai logaritmi alla meccanica razionale, 2016).

A tale numero Martin Gardner dedica un suo articolo su American Scientific, oggi contenuto nel quarto volume di Enigmi e giochi matematici (Firenze), spiegandone il funzionamento facendo appello ad un esempio, poi divenuto un classico nella divulgazione matematica, molto didascalico, ma altrettanto efficace e cioè quello del rapporto tra i depositi bancari e l’incremento di valore derivato dai tassi di interesse applicati dagli istituti a tali depositi. Seguiamo l’esempio di Gardner.

Immaginiamo di depositare 1 dollaro in un conto bancario e di vedere come gli interessi applicati a questo dollaro possano fruttare. In genere, i tassi applicati ad un deposito sono di due tipi, annuali o composto, questi ultimi hanno un intervallo più corto per il pagamento e le modalità cambiano a seconda del contratto stipulato con l’istituto bancario. L’assunto generale è che per un deposito di 25 anni a tasso annuale del 4% il pagamento a chiusura del conto di un dollaro vedrebbe crescere detto dollaro a 2 dollari; mentre per un deposito sempre di 25 anni e sempre al tasso del 4% annuale, ma con pagamento variabile o composto, la crescita dell’interesse sarebbe per quello stesso dollaro più veloce, perché “più frequente è la composizione dell’interesse, più rapida è la crescita” (Gardner). Ciò detto, nel tasso annuale accade che questa crescita del valore del dollaro depositato è pari ad un incremento di 1/25 all’anno, cioè pari allo 0,04 ogni anno. Pertanto, il rateo annuale che la banca paga ogni anno per quell’unico dollaro depositato è pari a 1,04, tanto che a fine contratto (dopo 25 anni) la banca pagherà 2,66 dollari su quel dollaro depositato. Per un conto a tasso composto la situazione è leggermente differente. Le condizioni sono sempre le stesse, 25 anni e tasso al 4%, ma cambia solo la percentuale del pagamento del rateo composto, che è stavolta del 2%. In questo caso il rateo composto pagato dalla banca è pari a (1 + 1 / 50) ⁵⁰ = 2,69 dollari. L’incremento è più veloce, anche se altrettanto contenuto come nel caso della annualità.

Nel calcolo del rateo dell’interesse si utilizza l’espressione (1 + 1 / n) ⁿ, la stessa sulla quale Eulero determinò il valore della costante che prende il suo nome. Ciò vuol dire che la crescita del rateo è effetto di una composizione dove il rateo stesso è una parte dell’intera sequenza numerica di cui è l’incremento; infatti, l’espressione di Eulero può scriversi nel modo seguente:

1 + 1 / 1! + 1 / 2! + 1 / 3! + 1 / 4! + 1 / 5! + 1 / 6! + 1 / 7! + …       (12)

[legenda: il segno "!" indica il processo fattoriale, per cui a.e., il numero "3!" si legge "tre fattoriale" e significa 1 x 2 x 3]

L’esempio dell’incremento determinato dal tasso di interesse viene riportato da Eastaway e Wyndham per mettere in rilievo il fatto che alla base del fattore di diffusione non è da escludersi la presenza del numero e, di cui l’incremento del tasso bancario è un’applicazione. Una diffusione virale o semplicemente dell’innocuo (apparentemente) gossip ha un andamento che ricorda proprio il Numero di Eulero, numero che riguarda appunto i procedimenti esponenziali. Ecco allora, che la scrittura (7) può rappresentarsi tenendo in considerazione appunto questa realtà dei procedimenti seriali e il termine S dell’espressione può tradursi in termini di costante di Eulero:

Nuovi infetti = I x S = I x e ^{(S – 1)}          (13).

A questo punto, se si dovesse calcolare quante persone contraggono un’infezione virale nella prima settimana, basta usare la (13) e si avrà il risultato. Ipotizziamo che 10 persone abbiano contratto il virus dell’influenza ad inizio settimana; conoscendo in base alla tabella proposta sopra che il fattore di diffusione è 4 e ricorrendo alla formula (13) il nuovo conteggio sarà:

Nuovi infettati = 10 x e ^{(4 - 1)}

= 10 x e ³

= 201.

Dopo una sola settimana i nuovi contagiati di influenza sono 201 persone. Se ipotizziamo una situazione simile, ma stavolta nei riguardi di un altro batterio o virus, supponiamo il morbillo, si avrà che:

Nuovi infettati = 10 x e ^{(17 – 1)}

= 10 x e ¹⁶

= 88.861.105.

Accostando i due risultati, seppur in via ipotetica, è evidente che il contagio da morbillo risulta più virulento dell’influenza e ciò limitatamente alla prima settimana. A questo punto c’è da chiedersi se questo comportamento perdura nel tempo. La scrittura (11) rappresenta una serie numerica che in base alla moderna teoria delle funzioni è una serie convergente, cioè ammette un risultato che esaurisce la somma dei valori nonostante la lunghezza della stessa sequenza e quindi, ad un certo punto la conta finisce. Il punto è proprio questo. Per rallentare il processo di espansione della sequenza, e quindi della diffusione virale, occorre frazionare la potenza, facendole assumere un valore inferiore ad 1: infatti se il valore di S è pari a 1 il numero dei nuovi infetti rimane costante, ma se è superiore a 1 (come nei casi indicati) questo numero cresce e l’infezione virale diventa un’epidemia. Lo scopo è bloccare l’effetto ricorsivo che la stessa potenza innesca nella produzione della serie numerica e ciò lo si ottiene tramite il frazionamento della stessa cifra esponenziale. Ciò avviene mediante l’aggiunta della variabile del periodo indicata con la lettera “T”: l’espansione numerica di una serie è un processo che avviene non solo in termini di valori, cioè di numeri, ma anche di spazio, cioè in termini di tempo, per cui incidendo su questo limite lo sviluppo della stessa serie non solo può rallentare, ma addirittura arrestarsi.

In tal senso, la scrittura (13) diventa

Numero portatori dopo T periodi = I x e ^{(S – 1) T}              (14).

Dalla scrittura si comprende che la costante di Eulero è direttamente correlata al fattore di diffusione S, con il quale costruisce un sistema di relazioni costante e continuo, ma non lo è altrettanto con il periodo T, che tende ad ostacolare lo sviluppo della stessa sequenza. Sul piano aritmetico si può osservare che all’aumentare di T diminuisce il valore di e e ciò influisce in modo determinante sulla crescita esponenziale del contagio.

“Il semplice modello di crescita dell’infezione (e del gossip) appena illustrato è abbastanza accurato nelle prime fasi di evoluzione. Crescendo il numero dei soggetti contagiati, infatti, si riduce il numero delle persone che possono ancora essere infettate. Questo è di per sé sufficiente ad indurre una riduzione del fattore di diffusione. Altrettanto accade nel caso del pettegolezzo: dopo un certo lasso di tempo, diventa sempre più difficile trovare qualcuno che non abbia ancora appreso la notizia, pertanto anche il numero di soggetti che entrano in contatto con ciascuna fonte diminuisce. L’infettività si riduce con il passare del tempo e, se i numeri dell’infezione si mantengono sufficientemente bassi, questa può estinguersi prima di diventare una pandemia”.

(Rob Eastaway – Jeremy Wyndham, op. cit., pp. 144-45)

Post Scriptum. L’attualità del covid-19 ha determinato una riscoperta (così dicono) di valori che sorprendentemente avevano bisogno in un’occasione di questo tipo di essere evidenziati: povera nazione!… In ogni caso, la narrazione di questi giorni (non tutta da respingere) è affidata interamente ai buoni sentimenti, ad uno spirito di nazione e di fratellanza civile che ci si illude di possedere e in particolare ad iniziative che tentano di costruire una parvenza di socialità e di solidarietà, seppur tramite i mezzi della virtualità (un non-senso più sensato di quel che possa apparire, ma sempre un non-senso) e tutto ciò ha raccolto e in fondo raccoglie ancora (mentre scrivo queste righe nel mio quartiere c’è musica e canti dai balconi) un consenso trasversale. Ma sempre di narrazione si tratta e personalmente preferirei diffidare. In tal senso, guardare alla struttura matematica che può esibire un fenomeno come la diffusione di un gossip o di un’infezione virale o batterica è il mio modo non solo di sottrarmi all’assuefazione generale, ma di tenere ben presente che, al di là della socialità dell’evento (il contagio è un fatto che coinvolge tutti), i fenomeni di pandemia e di semplice epidemia sono potenti strumenti di destabilizzazione economica e che influiscono sugli ordinari assetti della società: più del terrorismo islamico forse a questo punto può fare di più e meglio un piccolo virus influenzale e a pensarci bene non posso evitare di riferirmi a certi scenari apocalittici fino ad oggi visti solo sui grandi schermi dei cinema!