La margherita di Loyd, controllo di parità e...controintuizione

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Sam Loyd è il più importante enigmista e matematico statunitense del secolo scorso. Ha curato rubriche di giochi matematici, è stato egli stesso un inventore di giochi, tra cui il più noto è Il Gioco del 15, una tavoletta dove sono sistemati dei blocchetti numerati in ordine crescente tranne la coppia finale del 14 e del 15, la cui disposizione è invertita. Tuttavia, la figura di Sam Loyd è legata ad altri ingegnosi enigmi, di cui il matematico italiano Federico Pieretti descrive nel suo libro del 2010 dal titolo Il matematico si diverte. In questo testo si trova un capitolo dedicato a Loyd, caratterizzato dalla consueta e minimale descrizione biografica del matematico statunitense e soprattutto la presentazione di alcuni degli enigmi da lui inventati e che fanno parte dell’armamentario enigmistico mondiale. In particolare, di uno di questi vorrei parlare, pubblicato da Loyd nella sua opera più importante, la Cyclopedia of Puzzles del 1914, dove è possibile trovare i 5oo modi in cui è divisibile un quadrato e di cui Martin Gardner ha curato una breve raccolta dei passatempi più rilevanti di detta enciclopedia.

L’enigma in questione è il n. 56 del secondo volume (1980) a cura di Martin Gardner, Passatempi matematici, edito in Italia dalla Sansoni editore e intitolato Sfogliando la margherita. Il gioco è esposto secondo un’esposizione aneddotica, consueta in questo tipo di pubblicazioni, dietro cioè la veste di un breve racconto, il cui testo può leggersi nel libro di Gardner menzionato. In breve, il gioco coinvolge due giocatori e la meccanica consiste nello staccare a turno un petalo o due petali adiacenti, a scelta del giocatore di turno. Il quesito sollevato dal problema è il seguente:

utilizzando una margherita composta da tredici petali come schema di gioco e ricorrendo a delle monete con le quali coprire uno o due petali a secondo della propria strategia di gioco, è possibile determinare con certezza chi vincerà la partita tra i due giocatori e quale sia la strategia vincente?

Preciso che colui che perde la partita è chi rimane con la “vecchia zitella”, cioè con il gambo della margherita spoglio di petali, in questo caso con i vari petali coperti dalle monete sovrapposte.

Il quesito in questione è meno semplice di quel che sembra apparentemente, perché la meccanica del gioco è costruita in modo da agire sulla presunzione derivata dall’intuizione, che ammette che il vincitore nella strategia di gioco risulti essere sempre il primo giocatore, tanto che se si verifica la situazione modellizzando un’ipotetica partita risulta appunto, che il giocatore iniziale appare sempre il giocatore vincente. Ciò che viene chiesto dal testo di Loyd è semplicemente spiegare se sia realmente così e se non lo è, quale sia la strategia vincente. Ecco, la spiegazione di Pieretti di questo gioco risponde pertinentemente a quest’ultimo tema, affermando che la posizione favorita del primo giocatore può essere rovesciata “se farà in modo di dividere i petali in due gruppi uguali” (Pieretti: Hachette, 2017, p.165) costruendo una strategia speculare ed opposta a quella dell’avversario. Es., se il giocatore iniziale copre un petalo, il giocatore di turno copre a sua volta due petali stando attento di dividere i petali restanti in due gruppi equamente distribuiti (Ciocatore A: petalo n.1; Giocatore B: petali n.7-8); oppure, se il giocatore iniziale copre due petali, il giocatore di turno ne copre uno, in modo da pareggiare di volta in volta la distribuzione numerica dei petali (Giocatore A: petali n.2-3; Giocatore B: petalo n.9); così via, fino ad esaurimento dei petali disponibili. Lo scopo di questa strategia è in realtà, di non alterare (o per meglio dire ripristinare) una situazione di ordine numerico costante dove interviene un bilancio proporzionale tra ciò che si prende e ciò che si lascia. Infatti, se il Giocatore A copre due petali realizza la combinazione del tipo 2+1, di conseguenza per pareggiare la distribuzione il Giocatore B lascia scoperto in base alla combinazione 2-1.

Una spiegazione che descrive la soluzione del problema e che è la stessa riportata da Gardner nella raccolta indicata sopra. Tuttavia, ciò che è interessante capire come mai accade quanto appena descritto. Le combinazioni numeriche indicate sono due formule che descrivono una situazione delle strutture fondamentali della realtà che l’antica teoria matematica greca conosceva molto bene e che si è espressa nel tema della proporzione e della progressione geometrica delle successioni numeriche. L’idea decisiva dei pitagorici consiste appunto, nell’aver individuato un ordine numerico costante (e in seguito anche ricorsivo) nella trama delle relazioni degli eventi della realtà. Ciò significa che le contraddizioni della realtà hanno una struttura che si dà e ricorre continuamente e che i pitagorici finirono per delineare tramite la struttura dei poligoni. Una costruzione aritmetica e geometrica che l’attuale modello matematico si traduce semplicemente tramite i noti diagrammi di Eulero-Venn, cioè tramite gli insiemi e le dirette corrispondenze tra due insiemi, da cui derivano le rispettive proprietà. Per chiarire questo punto cito lo esempio proposto da Peter M. Higgins (1998) della partita da tennis. Nel definire il calendario di incontri di un torneo il dato che si deve accertare è il numero di partite che compongono l’attività del torneo; fissato questo numero, stabilito in base allo intervallo dell’attività del torneo, ci si rende conto immediatamente (e intuitivamente) che il numero dei giocatori coinvolti è pari a questo numero più una unità. Supponiamo che il numero di partite da svolgere sia 99, il numero di giocatori che sono coinvolti nell’attività del torneo è 99 + 1 = 100. Pertanto, il numero 99 indica da un lato il numero di partite da svolgere, ma indica anche il numero dei giocatori sconfitti nell’attività del torneo. La matematica (e con essa la filosofia) pitagorica avevano appurato che l’attività aritmetica si svolge secondo una struttura definita dalla formula n + 1, che è la formula sopra usata per individuare il numero di giocatori del torneo dell’esempio. Sempre la teoria pitagorica infatti, si è accorta che aggiungendo un semplice 2 alla formula si ottiene 2n + 1, con la quale descrivono la costruzione delle serie numeriche e dei relativi poligoni, in questo caso 2n + 1 descrive la serie dei numeri dispari.

Ora, le combinazioni numeriche che regolano l’azione del rompicapo di Loyd derivano proprio da questo tipo di struttura e da questa configurazione delle strutture fondamentali della realtà, infatti se si osserva la formula pitagorica relativa ai numeri dispari, si evince che le combinazioni numeriche di Loyd non sono altro che questi numeri dispari a cui l’enigmista ha eliso il termine n. Quindi, da 2n + 1 si ottiene 2 + 1, che è la combinazione (o la forma relazionale) aritmetica senza la presenza del termine indeterminato di n, con il quale ovviamente si costruisce la successione numerica. Qui, non interessa la sintesi della serie, ma la sua forma ridotta, il suo schema minimo.

Ciò detto, questo enigma di Loyd rivela un tema molto interessante e che lo stesso Gardner spiega in un suo articolo dal titolo Controlli di parità e contenuto nel quinto volume di Enigmi e giochi matematici, pubblicato in Italia dalla Sansoni editore nel 1976. L’argomento dell’articolo riguarda appunto la struttura qui descritta, vale a dire ammettere uno sviluppo e una sequenza numerica dove la relazione numerica privilegia una configurazione paritaria o a coppia. Una situazione per così dire “anomala” e che si evince molto chiaramente da quello che succede durante la dimostrazione euclidea della validità del rapporto (cioè del segmento) che sussiste tra l’intero ed una sua parte, rapporto aritmetico-geometrico che dal Rinascimento in poi conosciamo semplicemente come Sezione aurea di un segmento. La dimostrazione euclidea come è noto ha a che fare con la scoperta dei numeri irrazionali e soprattutto con l’impossibilità di realizzare l’estrazione di radice del valore di un’ipotenusa costruita sulla diagonale di un quadrato di lato 1. In base al noto Teorema di Pitagora il valore di questa ipotenusa corrisponde a √2, cioè alla radice quadrata di 2. Come è noto, il tema dell’estrazione di radice nella matematica greca riguarda anche quello della frazione di un numero, cioè dividere la superficie di un oggetto, qui espresso da un qualsiasi numero intero, in modo tale da ottenere il valore precedente alla sua elevazione esponenziale, vale a dire i² = C² + c² da cui deriva la nota formula del toerema i = √C + √c, dove i è l’ipotenusa, C è il Cateto maggiore e c è il cateto minore. Ora, sul piano aritmetico l’estrazione risulta impossibile, almeno se si continua a ragionare con le proprietà dei numeri interi, come è nella teoria matematica antica, ma dal punto di vista geometrico è possibile dimostrare l’esistenza di un numero, che sia il valore dell’ipotenusa, e che sia compatibile ad una frazione del tipo n / m, dove n e m non sono uguali e che producano un valore di estrazione pari a 2. Questo numero esiste, ma non è un numero intero ed è quello comunemente noto come numero φ (gr. Phi), che è un mero infinitamente piccolo, un numero decimale, simile ad un altro numero altrettanto noto che è il pi greco (π), periodico e soprattutto appartenente ad una classe di numeri detti Reali.

La struttura combinatoria del gioco di Loyd lambisce un tema che rinvia a questi temi, perché imposta la sequenza numerica in una serie di numeri interi e quindi, suggerendo che la struttura compositiva sia anche essa di tale natura. La convergenza del tema è dato da alcuni elementi, anzitutto lo schema del gioco propone un numero di posizioni che è un numero dispari (13) e quindi, pone un grosso problema di distribuzione delle restanti posizioni libere, che l’azione del giocatore deve bilanciare in qualche modo. Il bilanciamento operato dal giocatore di turno è in effetti, la definizione di un rapporto, di una frazione vera e propria che deve conservarsi per continuare a configurare il circuito su cui si determina la sequenza numerica: infatti, se la frazione non esistesse più si avrebbe nuovamente l’unità (1 / 1; 2 / 2) e non ci sarebbe modo da parte del giocatore di turno di sconvolgere la posizione di vantaggio del giocatore iniziale. Il mantenimento del frazionamento e quindi, della distribuzione equa delle posizioni durante l’attività di gioco permette al giocatore di turno di condurre una qualche forma di strategia e di poter vincere alla fine. Ma se ciò non fosse possibile? È il caso a.e., del gioco proposto da Gardner dei tre bicchieri.

Prima versione di questo gioco. Si prendano tre bicchieri e li si mostri girati sul tavolo. Lo scopo del gioco è di rovesciarli tutti e tre e di metterli dritti sul tavolo. Condizione fondamentale dell’attività di gioco è rovesciare i bicchieri due per volta, usando tutte e due le mani. Dopo qualche prova si capisce che il gioco può riuscire e alla fine si ottengono tutti e tre i bicchieri dritti. Da questa esperienza si evince che l’uso simultaneo delle due mani nel rovesciare i due bicchieri rappresenta de facto la condizione di sopra, cioè impone una distribuzione delle possibilità, risultando già di per sé frazionate: il frazionamento in questo caso non è evitabile e ciò di riflesso determina la riuscita del gioco.

Seconda versione del gioco. Ricorriamo ai tre bicchieri di sopra, ma stavolta anziché avere tutti e tre bicchieri rovesciati si tiene uno di essi rovesciati: si sceglie di tenere dritto il bicchiere al centro, ma si potrebbe tenere dritto uno qualsiasi degli altri due, si sceglie il bicchiere centrale solo per una convenzione, per rendere più evidente l’esito del gioco. Se dopo alcune prove nel caso precedente si riesce a risistemare i bicchieri tutti dritti, adesso, nonostante numerose prove, la ricomposizione nello stesso ordine dei bicchieri è un esito impossibile, perché la sistemazione del bicchiere centrale nel verso opposto agli altri due crea una situazione irrisolvibile della combinazione. Le posizioni assunte di due degli oggetti in questione ripristinano la situazione dell’unità, vale a dire risolve il frazionamento e ciò si traduce nell’attività di gioco in una condotta fallimentare: con tutti gli sforzi e le combinazioni che si possono pensare il risultato finale sarà sempre quello di trovare uno dei bicchieri rovesciato rispetto agli altri due.

La descrizione qui offerta permette di chiarire una situazione che si verifica in modo tipico in qualsiasi sistema, vale a dire che una volta fissato il valore di parità del sistema, questo si conserva per tutte le attività relative al suddetto sistema; es., se il sistema ha una parità dispari come nel caso del gioco dei bicchieri, questa si conserva nell’azione del gioco stesso. Non si ha la conservazione se – come nel caso sopra descritto – si cerca di trasformare la parità del sistema in un altro tipo di parità, nel caso in esame in una parità pari: si è visto l’impossibilità di raggiungere lo scopo dell’attività. Ora, questa valutazione ha fissato un principio teorico che ha trovato diffusa applicazione nella fisica particellare e che ha trovato espressione nel noto Principio di esclusione di Wolfgang Pauli, in quanto definisce la proprietà elettrostatica delle particelle atomiche; infatti, molte delle varie particelle che compongono l’universo atomico hanno la proprietà di costruire sistemi elettrici con un valore di parità costante, queste particelle sono tutte quelle che compongono i fermioni, dette così perché obbediscono al sistema di regole descritto dalla statistica di Fermi-Dirac (1926), e sono il protone, il neutrone e l’elettrone. Tuttavia, la scoperta che esiste una produzione variabile di particelle ha condotto la teoria fisica a ritenere che esistono particelle che non rientrano nella statistica di Fermi-Dirac e che si rivolgono invece, ad un altro sistema, detto statistica di Bose-Einstein, che vale esclusivamente per loro. Questa classe di oggetti sono i bosoni. L’attività delle particelle ordinarie dunque, configura uno spazio elettromagnetico che influenza, a sua volta, lo spin, cioè l’orientamento elettromagnetico della singola particella; nel caso dei bosoni ciò non accade, perché la stessa particella ha un suo doppio speculare, detto antiparticella, che ha uno spin rovesciato e su cui si basa il concetto attuale di antimateria. Ora, il sistema costituito da particella e da antiparticella configura una struttura che non può avvalersi della intuizione che è alla base della parità, perché laddove ci si attendesse un certo comportamento previsto, il sistema della particella/antiparticella ne produce un altro, inatteso ed imprevedibile.

Certo, l’antimateria ed il sistema delle antiparticelle sono diretta conseguenza dell’applicazione della teoria della relatività di Albert Einstein, tuttavia questa situazione teorica rivela l’insufficienza della strutture intuitive, soprattutto se estese ad un paesaggio di oggetti di dimensioni molto piccole, ed i bosoni sono oggetti molto piccoli, di conseguenza il controllo di parità che funge – come si è potuto evincere – da struttura della meccanica del gioco di Loyd sopra descritto è totalmente inapplicabile in queste situazioni teoriche estreme. E tuttavia, tenere presente questa fallacia significa tenere sotto controllo più che altro le eventuali conclusioni dedotto (o abdotte) attraverso l’intuizione.

Le combinazioni aritmetiche con le quali è possibile regolare l’andamento della partita nel rompicapo di Loyd hanno questa funzione conservativa, cioè descrivono i termini di una distribuzione paritaria che ai fini del gioco rende possibile al giocatore che muove da una posizione svantaggiata di impostare e realizzare una strategia di gioco per lo meno non fallimentare.

Post Scriptum. La descrizione del gioco di Loyd ha fatto affiorare (scusate il gioco di parole!) un tema che qualche anno fa è stato ampiamente diffuso nella cultura popolare tramite una produzione cinematografica di grande successo ed una relativa serie televisiva, che personalmente non ho visto. Il tema riguarda la questione sociale e politica, oltre che economica, della distribuzione. Ora, il pensiero economico, ma soprattutto la sua rappresentazione nella cultura popolare ha abituato il pensiero sociale a considerare le problematiche economiche essenzialmente un problema di produzione, tanto che il P.I.L. è uno, se non l’unico, indice di valutazione della ricchezza di una nazione: di recente, alcuni saggistici hanno condotto, secondo me anche molto giustamente, una controinformazione culturale tesa a mettere in rilievo che la ricchezza prodotta non può essere l’unico criterio di valutazione del benessere di una collettività, in quanto entrano in gioco una serie di fattori immateriali che per definizione sono esclusi dal criterio economico del P.I.L. Tuttavia, questo grande interesse che il cinema (guarda caso statunitense) ed una certa controcultura popolare di origine antagonista hanno posto l’accento solo sulla questione della distribuzione, vale a dire che le moltissime contraddizioni economiche che caratterizzano l’attuale modello capitalistico siano tutte conseguenza di una scarsa ridistribuzione economico-finanziaria delle risorse economiche, perché da un lato si ha quello che noti esponenti del socialismo mondiale (uno su tutti Ernesto Che Guevara) denunciavano, vale a dire l’espropriazione e lo spogliamento delle risorse economiche dei paesi non sviluppati industrialmente, mentre dall’altro lato si è assistito (e secondo esponenti marxistico-comunisti si assiste ancora) una concentrazione di questa ricchezza estratta, cioè prodotta, nelle mani di gruppi sempre più ristretti, genericamente localizzati nel mondo Occidentale, favorendo in questo modo sperequazioni sociali e fratture reddituali tra gli stessi ceti sociali (un esempio è la trasformazione di ciò che una volta si chiamava “povertà relativa” in uno stato di “povertà assoluta”). Uno scenario amaro e drammaticamente apocalittico contro il quale (a quanto pare e a detta di questi) si può rimediare solo tramite una diversa riformulazione della distribuzione della ricchezza mondiale. Senza volermi addentrare troppo sul tema, che merita di per sé tutta la considerazione possibile, se utilizziamo l’andamento del gioco di Loyd come un modello astratto di un’ipotetica condotta economica, ci si accorge che la compensazione che rende possibile la distribuzione equa delle posizioni nello schema di gioco è formulata di volta in volta su una soglia sempre più sottile di queste possibilità, vale a dire che se ogni petalo della margherita è una risorsa (o verosimilmente una sua quantità), l’occupazione di uno o più petali offre al giocatore di turno la possibilità di scegliere se compensare oppure no l’azione del giocatore che lo ha preceduto, ovviamente se lo scopo è rovesciare i termini di svantaggio è conveniente seguire una certa condotta, anziché una altra. In conclusione, proseguendo su questa allusione sull’economia, non mi sorprenderebbe se qualcuno affermasse o che avesse già detto nel frattempo che dietro la ridistribuzione dei profitti globali e delle ricchezze nazionali, ricorrente in molte narrazioni antagoniste, si celasse l’ombra dell’austerity degli ultimi anni.