Sul gioco del Filetto

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Il Gioco del Filetto è certamente tra i giochi astratti con scacchiera più antichi della storia umana, e per questa ragione è possibile trovare in molti manuali di divulgazione la descrizione della sua meccanica di gioco, oltre che la sua antica storia. Come nel caso della descrizione data da Federico Pieretti nel suo Il matematico si diverte [2010], dal quale apprendiamo che vi sono molte testimonianze archeologiche che ne attestano l’antichità: tra queste vengono menzionate le incisioni rinvenute nel tempio egizio di Kurna, a Tebe, nell’Alto Egitto, edificio iniziato a costruire sotto il faraone Ramses I e completato poi sotto il faraone Seti I. Ma, come detto, le testimonianze egizie non sono le uniche; alcune testimonianze rinvenute in Cina, all’epoca di Confucio parlano del Filetto, anche se all’epoca si usava chiamarlo con il nome di Liubo o di Luk Tsut k’i’: una diffusione che va oltre l’area mediterranea come si è visto, ma che sconfina anche oltre i limiti temporali dell’età antica, infatti incisioni che rappresentano il tavoliere da gioco sono presenti nella medievale Cattedrale inglese di Canterbury oppure sul pavimento di Westminster, ma anche presso alcune rocche medievali italiane.

Una diffusione ampia dunque, ma anche una variabilità di nomi e versioni. Il Gioco del Filetto che si gioca su un tavoliere è la versione più semplice ed in era cristiana (o tardo antica) si era soliti giocarvi a Roma usando uno schema quadrato composto da nove caselle sulle quali si collocavano alcune monete. La meccanica di gioco prevedeva che ogni giocatore muovesse a turno, cioè mettesse una moneta su uno dei quadrati disponibili e seguisse una direzione diagonale – si muoveva solo in diagonale! -, questo fin tanto che lo schema fosse completo o fino al raggiungimento di una terna diagonale. Questo schema rimane per lo più invariato nel corso dei secoli, tanto che le variazioni sono minime e riguardano il nome del gioco. Martin Gardner ci dice che nel 1300 in Inghilterra il gioco venisse chiamato mill, come oggi accade negli Stati Uniti, vale a dire morra dei tre uomini, la quale si caratterizza per un preciso divieto alla prima mossa: poiché l’occupazione della casella centrale avvantaggia solo il primo giocatore, di regola era previsto che la prima mossa non riguardasse appunto, questa casella, in questo modo si crea una situazione di gioco dove la distribuzione dei vantaggi fosse più equa. Ora, a secondo dei divieti imposti alla strategia di gioco ed alla sua localizzazione geografica esistono varie versioni, che lo stesso Gardner descrive in un suo articolo esaustivo,  contenuto oggi in Enigmi e giochi matematici pubblicato in Italia dalla Rizzoli nel 1983, di cui esiste una edizione del Corriere della sera del 2014. L’articolo del divulgatore statunitense raccoglie molti degli argomenti correlati al Gioco del Filetto e che in seguito saranno variamente riproposti negli attuali manuali di matematica ricreativa (come nel caso del libro di Pieretti citato prima) o di semplici libri di divulgazione matematica, tuttavia c’è un dato rilevante nella dissertazione fatta da Gardner che mi pare interessante e cioè, come lo schema di gioco definisca un tipo di struttura matematica che può essere estesa ad ambiti di analisi e di ricerca molto lontani da quelli individuabili dallo stesso schema di gioco.

In realtà, lo schema di gioco rivela una certa versatilità nell’essere applicato in situazioni teoriche e pratiche insospettabili, quali a.e., la prospettiva proiettiva. Gardner cita una versione del Gioco del Filetto che utilizza un tavoliere a cubo, anziché la classica tabella dallo schema 3x3. In questo caso viene aggiunta un livello ulteriore, con il quale si descrive uno spazio di gioco che si sviluppa volumetricamente su un cubo del tipo 3 x 3 x 3. È una versione prototipo questa che definisce diversi tipi di filetti tridimensionali, la cui azione di gioco si sviluppa ortogonalmente, cioè in diagonale, lungo tutti i piani che compongono il cubo, tanto che si parla di “cubi riuniti”: esistono infatti, versioni del tipo 4 x 4 x 4, ma anche 5 x 5 x 5, tuttavia ciò che sorprende in questo tipo di strutture è che modificando la regione di gioco, in questo caso estendendola, il vantaggio che il primo giocatore può avere aprendo lui la partita si assottiglia clamorosamente, come appunto accade nella versione citata di 4 x 4 x 4. Per tale ragione, la costruzione di tavolieri più complessi, basati su una struttura di cubi riuniti rende la gestione della giocata più complessa e meno prevedibile di quella presente nello schema classico.

Comunque, ciò che rende il Gioco del Filetto matematicamente interessante è il fatto che ogni turno di gioco determini una precisa scelta da parte del giocatore, spesso, come può osservarsi facilmente nello schema classico, prevedibile o “suggerita”, in quanto obbligata dalle possibilità che si vengono a determinare nella scacchiera. A tal riguardo, lo studio del Gioco del Filetto collegato alla creazione dei primi ed elementari calcolatori non è una idea bizzarra. A tal fine, Charles Babbage elabora il progetto di una macchina pensante, una sorta di prototipo degli attuali robot ad intelligenza artificiale (solo che Babbage è dell’epoca vittoriana!), che consiste nel creare uno schema di gioco, con apprendimento automatico, che impone alla macchina due tipi di scelta, dalle quali ottenere tre tipi di risultati che sono 0, 1 e 2, vale a dire numeri che quantificano il successo o meno della scelta di gioco effettuata. Ed in base a questi risultati modificare meccanicamente, cioè automaticamente, la propria strategia di gioco (strategia di scelte). Questa intuizione di Babbage definisce la base concettuale del concetto di “informatica”, termine con il quale indichiamo lo studio degli strumenti e degli apparati che permettono di realizzare un calcolo automatico. Una idea che è alla base della macchina automatica (a-macchina) di Alan Turing, o semplicemente la Macchina di Turing, che opera tramite un calcolo computazionale, cioè tramite una serie di schemi di scelte operative applicati a specifiche situazioni in cui si trova ad operare la macchina (cfr. Mattia Monga, Turing. La nascita dell’intelligenza artificiale, 2016). L’idea di base della Macchina di Turing è quella di costruire una macchina “addestrata” o “educata” a compiere l’attività che deve svolgere, e ciò che sorprende in questa intuizione che lo schema modello di riferimento per questo tipo di operatività è una modellizzazione astratta riferibile proprio allo schema di gioco del Filetto.

A questo punto è evidente quanto sia versatile e come possa essere applicabile lo schema di gioco del Filetto, il che lo rende più attuale e meno scontato di quel che a prima vista sembrerebbe, tuttavia c’è da aggiungere che lo schema di gioco del Filetto ha a prima vista una non equa distribuzione dei vantaggi, come viene detto da Pieretti nel suo paragrafo dedicato al Gioco del Filetto: altri autori hanno messo in rilievo proprio questo fatto, anche lo stesso Gardner che nel volume menzionato propone un enigma dove si chiede quale strategia risulti conveniente al secondo giocatore per riequilibrare la disparità di opportunità nell’andamento del gioco. La soluzione la si può leggere nell’appendice allo stesso articolo di Gardner, tuttavia vi è un altro interessante quesito sul Gioco del Filetto proposto dal divulgatore statunitense (cfr. ibidem, Enigmi e giochi matematici, vol.V, 1976, p.141) e che riguarda appunto, la struttura della stessa azione di gioco del Filetto e che rivela una modifica dei criteri di gioco o di costruzione dell’azione di gioco: lo scopo ovviamente è quello di migliorare le chances di successo della strategia di gioco del secondo giocatore. Il quesito (in realtà una variante) è posto da un signore inglese, tale A.K. Austin di Hull, che può considerarsi per certi versi una modifica diabolica. Lo schema di gioco rimane quello classico, a turno due giocatori segnano sul tavoliere uno O oppure una X, ma introduce l’innovazione per la quale ogni giocatore cambia nel proprio turno di gioco il segno da apporre sullo schema, ciò vuol dire che che il primo giocatore segna l’apertura con una X, il secondo giocatore non è tenuto a segnare con uno O la propria mossa. La finalità di questa azione (ammessa come condizione di gioco) è quella di destrutturare i vincoli di gioco, cioè le stesse possibilità che sono imposte dalla meccanica di gioco e dallo schema di gioco, sconvolgendo così la costruzione o la definizione di una eventuale strategia di gioco: questo sistema inibisce la caratteristica decisiva del gioco, quella di produrre e consegnare al giocatore di turno una serie di “trappole”, cioè di scelte obbligate, ma evidentemente infruttuose e senza successo.

Post Scriptum. Il Gioco del Filetto è uno dei giochi che ha caratterizzato la mia infanzia, perché disponevo con i miei fratelli di una scacchiera economica di medie dimensioni ribaltabile, dove sulle due facce del tavoliere era riportata una scacchiera da dama e uno schema di Mulino, cioè tre quadrati inscritti l’uno nell’altro e collegati da dei tratti che fungevano da “ponti” allo schema successivo. Mi ricordo pure che ebbi la ventura di giocare in una versione del Mulino, dove lo schema di gioco era fatto “a croce” e che componeva un gioco in scatola di mia nonna (ricordo infatti di averci giocato con mio zio materno: una vita fa, insomma), ma è ai tempi della scuola il Filetto occupava alcuni momenti di svago, un poco perché era l’unico gioco che si poteva fare durante le ore libere nell’orario scolastico, un poco perché un compagno di scuola, appassionatissimo o forse perché conosceva le posizioni vincenti dello schema, imponeva me e a qualche altro di giocarci. Comunque sia, mi ricordo che una volta passammo quasi un’intera giornata di scuola a giocare a Tris (l’altra versione del Gioco del Filetto), tanto che ancora oggi mi vengono in mente immagini di fogli volanti strappati dai quaderni ed io munito di penna a sfidare il compagno libero o disponibile ad accettare la mia sfida: in quella occasione organizzammo un piccolo campionato di classe e mi pare che fu una giornata divertente.