L’oggetto che non ti attendi. Come il piano geometrico condiziona la forma

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È abbastanza noto che la costruzione euclidea della geometria si fonda su un sistema di proposizioni e di termini tramite il quale comporre un discorso astratto, ma razionalmente valido, dove ogni parte dello stesso ha il carattere della autoreferenzialità, nel senso che trova negli elementi precedentemente definiti materiale e oggetto delle dimostrazioni. Pertanto, linee, punti, angoli financo le figure geometriche sono tutti dati sintetizzati, cioè costruiti e per nulla assunti come predeterminati, almeno così sembra alla apparenza. La versione a cura di Pietro Tortorici degli Elementi di geometria di Euclide (Firenze, 1967) rivela in modo evidente come la presunta razionalità di cui si diceva prima si basi a sua volta su alcune implicite ammissioni, soprattutto sulla ammissione della “primitività” dei concetti base dello stesso discorso geometrico. Tutti gli elementi che compongono il trattato di Euclide sono in buona sostanza dati intuitivi, presunti come tali a causa della loro “originarietà” e su cui in effetti, non è semplice dare una definizione che non sia olistica. Pertanto, si ha la situazione antiscientifica per eccellenza (stando a sentire Umberto Eco) per la quale si utilizzi una idea o una categoria filosofica (cfr. il tema dell’essere in Umberto Eco, Kant e l’ornitorinco [1997]) senza sapere effettivamente cosa essa sia. Ciò accade per l’idea di punto, ma per tutti gli altri termini del discorso euclideo.

A riguardo, anche il tema del piano non è esente da questo tipo di approccio e quindi, anche la definizione di piano rientra tra i primitivi di una attività che vuole essere assertiva, dimostrativa e costruttiva, vale a dire che mira a costruire da sé tutti i termini che compongono il mondo a cui fa riferimento. In ogni caso, in base all’intuizione Euclide definisce il piano come il luogo (cfr. Aristotele per il tema del “luogo”) dove si trovano collocati tutti i punti, che sono gli elementi compositivi del piano e di cui Euclide stima un numero infinito. Il piano è infatti, il luogo di tutti i punti. Pertanto, tutti gli oggetti che derivano dall’interazione di questi punti descrivono dei corpi o figure collocate su questo medesimo piano: le figure geometriche hanno una base, un loro fondamento “fisico” su cui poggiare. Per tale ragione, è di estremo interesse ad Euclide dimostrare che gli oggetti che la geometria descrive poggino su un piano e a tale obiettivo sono rivolti i primi postulati. Per la precisione, Euclide fissa alcune specifiche condizioni

“Se una retta ha due punti comuni con un piano essa appartiene al piano” (Postulato I).

Disegnare due punti non è scrivere dei segni senza basamento, ma vuole dire che questi oggetti si trovano su qualcosa; questo appoggio (motivato da una esigenza intuitiva) definisce una implicita condizione, quella cioè che in virtù solo di questo fatto la retta passante per due punti A e B si trova collocata su un piano e, cosa più importante, appartiene essa stessa al piano in questione. Ciò significa che il tracciato descritto dai due punti e che descrive una retta o un segmento indica una precisa forma in una parte di regione del piano. Ammesso che questo tracciato dal punto A al punto B sia molto lungo tanto da dividere in due il piano, la divisione di detto piano produce due semipiani, cioè due regioni di piano distinte e di cui i punti della retta sono termini in comune.

Ciò detto, quel che è interessante nei primi rudimenti introduttivi di Euclide non è tanto questa differenza (che può definirsi qualitativa) tra piano e semipiano, quanto invece l’assunto prima ricordato che due presi punti qualsiasi questi siano necessariamente appartenenti da un unico piano. In merito, interviene l’altra precisione data dal Postulato II, che dice

“Esiste un piano ed uno solo contenente tre punti dati, non in linea retta” (Postulato II).

La definizione di prima introduce una ambiguità concettuale che il Postulato II cerca di risolvere e cioè, che i due punti presi casualmente non siano a loro volta gli estremi di due piani differenti, magari sovrapposti o paralleli. Il Postulato II suggerisce che questo terzo punto assicura che ci si sta muovendo su un solo piano e non su due, perché se fosse così, si dovrebbe ammettere che il piano non è uno, ma due e per giunta paralleli e bisogna ammettere anche che l’eventuale retta che passa per questo terzo punto non intersechi la retta che passa negli altri due punti, rimanendo anche essa parallela. È infatti, con il controverso Postulato V che lo stesso Euclide precisa come debba intendersi la situazione delle parallele ed in che caso c’è una situazione di rette parallele.

In questo momento, mi interessa rilevare le condizioni fissate dal trattato di Euclide e mostrare come il modo di operare dell’attività geometrica sia intensamente condizionato dalla struttura e dalla natura del piano geometrico. Pertanto, quel che mi preme evidenziare è come il piano geometrico appaia in questa descrizione euclidea una situazione inerziale, una sorta di paesaggio immobile, per lo più inattivo ed indifferente entro il quale si svolge tutta l’attività geometrica.

In realtà, la presenza del piano euclideo è profondamente condizionante e senza di esso l’attività geometrica mostrerebbe una modalità operativa molto differente da quella a cui l’educazione scolastica e la tradizione scientifica ci ha abituati; una forma mentis culturale e non solo contro la quale si innesca il noto dibattito sulle geometrie non euclidee verso la fine del XIX secolo.

Per quanto mi riguarda, mi interessa evidenziare che alcune caratteristiche operative sulle figure geometriche siano caratteristiche derivate proprio dalla struttura del piano. Esempio, l’indeformabilità delle figure ed il loro essere considerati da Euclide “corpi rigidi” è una cifra direttamente collegata al piano. La verifica della equivalenza di due figure potrebbe realizzarsi materialmente tramite una sovrapposizione delle figure in questione e vedere “materialmente” se siano uguali oppure no. Una possibilità questa, che Euclide ammette e che definisce come “movimento rigido”, tuttavia lo stesso Euclide è poco incline ad applicarla e preferisce compiere questa attività di verifica costruendo dei sistemi di proiezione dove riportare immagini speculari della figura da valutare e analizzare le condizioni che rendano possibile questa uguaglianza. Questo motivo euclideo si regge su due considerazioni:

1. Applicare il movimento rigido significa “sollevare” dal piano la figura e catapultarla addosso alla altra figura con la quale la si vuole comparare. Una azione meccanica che può compiersi certamente, ma che rappresenta un arbitrio, in quanto ogni figura geometrica che compare su un piano, appartiene sì a questo ultimo, ma gli appartiene in virtù del fatto che è una “selezione” di piano, cioè è una parte di piano che viene configurata in quella precisa forma da altrettante specifiche relazioni tra i punti che compongono il profilo della figura.
2. L’operazione di sovrapposizione tra le figure geometriche può compiersi tramite una traslazione delle forme in modo tale da farle coincidere: è negata da Euclide la possibilità che esse scorrano o scivolino l’una nell’altra, il che è intuitivamente comprensibile. Pertanto, per poter realizzare questo confronto bisognerebbe “piegare” il piano in modo tale che le figure che compaiono sulla sua superficie vengano ad appaiarsi e quindi, ad essere comparate. È come se si disegnassero due figure sulla faccia di un foglio e si piegasse questo ultimo per verificare quanto siano effettivamente uguali le figure che sono state disegnate. Concettualmente questo tipo di operazione è esclusa da Euclide, perché “piegare” il piano significa de facto modificarlo, ritenerlo deformabile e di conseguenza ammettere che possa assumere caratteristiche differenti da quelle valutate inizialmente.

Ecco il tema che mi interessa rilevare. La conseguenza più rilevante della crisi innescata dalle geometrie non euclidee non è solo – come è noto – la riformulazione del tema del parallellismo, che pure aveva dominato per secoli il dibattito geometrico, ma riguarda anche (e soprattutto) prendere consapevolezza delle conseguenze effettive che vengono a prodursi nell’attività geometrica operando sul medesimo piano. La piegatura dunque, del piano determina alcune situazioni sorprendenti e tutte in una certa misura ascrivibili alla libertà dai vincoli concettuali euclidei. Per capire ciò che intendo si consideri la seguente situazione.

Robin Jamet nel suo libro del 2014, dal titolo originale Vous avez dit Maths? De la maison à la ville, le monde en matematiques (it.: Siamo tutti matematici) propone un esempio molto semplice ed intuitivo basato sui vari formati tipografici. Immaginiamo di avere davanti a noi un grande foglio, delle stesse dimensioni utilizzate per i grandi cartelloni pubblicitari. Se lo si prova a dividere in due il foglio si riduce perché diventa la metà di quello di partenza, ma significa pure che cambia il formato e se continuiamo a piegarlo ancora si arriva ad ottenere un foglio A4, cioè un foglio di dimensioni adatto per le fotocopiatrici. In breve si ha quello descritto qui nella immagine

Una esperienza di questo tipo è irrealizzabile secondo i criteri euclidei, tuttavia quel che è interessante è che nell’effettuare le diverse piegature accade qualcosa di inatteso, accade cioè che il piano di partenza inizia a modificarsi e ad assumere caratteristiche molto diverse da quelle riscontrate all’inizio. La piegatura che si è effettuata infatti, propone l’azione meccanica che rinvia alla struttura concettuale dell’idea euclidea della sovrapposizione delle figure, ma anziché “dividere” il piano si limita a deformarlo, producendo gli esiti appena descritti: se il foglio di partenza a.e., lo si intende come un piano ed iniziamo a piegarlo, si realizza ciò che Euclide ricusava, vale a dire la deformazione del piano e la trasformazione delle proprietà fisiche iniziali. Una deformazione questa che rende assolutamente inservibile le operazioni tradizionali basate sulla riga e sul compasso. Altro esempio. È noto che uno dei problemi insoluti della matematica antica è la divisione in tre sezioni di un angolo, noto come trisecatura dell’angolo (gli altri sono la duplicazione del cubo e la quadratura del cerchio). Al riguardo, si può fare riferimento a ciò che dice il divulgatore statunitense Martin Gardner in Come trisecare un angolo, contenuto in Carnevale matematico (1975: it. 1977), dove viene spiegato come deve operarsi una trisecatura con riga e compasso al modo degli antichi greci e dove viene detto perché operando in questo modo non si possa giungere al sospirato obiettivo di ottenere tre parti perfette di un angolo.

Il già menzionato Jamet, nel libro indicato sopra a capitolo 4, dal titolo Carta-foglio-forbici!, ricorrendo ad un foglio offre un modo molto semplice ed intuitivo di una perfetta trisecatura dell’angolo; quanto descritto da questo matematico deve intendersi in relazione alla idea rivoluzionaria di concepire la geometria non tanto una attività fondata sulla verifica di profili, quanto nella pratica di “impacchettare” la realtà, il che vuol dire iniziare a guardare la dimensione reale come espressione di un sistema curvo, anziché lineare e piatto, come è in fondo alla base delle affermazioni euclidee. Ma ciò significa iniziare a ragionare in termini di topologia e di accettare la convertibilità strutturale del piano lineare con la superficie curva, una ammissione che conduce dritti verso la relatività di Albert Einstein.

In ogni caso, questo tipo di esperienze rivelano come la direzione su cui si è incamminata la scienza dopo la riformulazione complessiva della geometria classica ad opera della geometria iperbolica e della geometria ellittica è quella per la quale la struttura profonda della realtà è essenzialmente “plastilina”, una forma assai deformabile (dimensione spazio-tempo) e ricorsiva (come nel caso dei frattali) e quindi, come tale per nulla condizionata dai criteri fissi imposti dal trattato di Euclide. Ma questo tipo di struttura può essere suggerita, pur rimanendo nell’ambito delle figure piane, facendo riferimento ad una particolare categoria di oggetti detti flexagoni.

Ancora una volta è Martin Gardner a fornire una esaustiva descrizione in un articolo comparso in Scientific American, adesso contenuto nel libro del 1959, Enigmi e giochi matematici (ed.it. Rizzoli), a cui rimando, dove si apprende cosa siano questi oggetti, la loro storia ed alcune questioni collegate al tema della piegatura. In ogni caso, l’idea dei flexagoni e/o lo studio di essi, ma come per qualunque altro oggetto creato dopo la crisi dei fondamenti di metà Ottocento possono e devono considerarsi applicazioni e sviluppi concettuali prodotti dal dibattito sulle geometrie non euclidee, le quali hanno il merito di aver mutato non solo la percezione dello spazio fisico ed astratto, ma soprattutto la struttura fondamentale su cui si costruisce questa percezione. Più precisamente le geometrie non euclidee hanno apportato una modifica della struttura fondamentale del piano geometrico, una trasformazione decisiva senza la quale è impensabile ammettere i concetti fondamentali del paradigma teorico attuale.

Post Scriptum. Presentare il tema del piano geometrico nei termini che ho proposto sopra vuol dire dal mio punto di vista (ri)scoprire quello che la narrazione storiografica della filosofia occidentale sovente tende ad eludere, se non in alcuni casi a celare. Questo accade perché storicizzando il pensiero filosofico, i suoi temi e molte delle sue soluzioni affiora con evidenza come l’interesse della stessa filosofia si sia indirizzato verso una linea che non è più quella della epistemologia classica, anche se per molti secoli si continuerà a ragionare in termini epistemologici e addirittura vedere una rinascita della stessa epistemologia sotto forma di pensiero empirico-scientifico. Dico di più, il modo in cui il pensiero matematico ottocentesco abbia modificato non solo la stessa prospettiva geometrica, ma in particolare la costituzione profonda del piano geometrico sembra proiettarci nuovamente verso quella sensibilità epistemologica che ha orientato la civiltà e la cultura greca verso la speculazione astratta, differenziandosi e in molti casi anche migliorando i risultati apprezzabili raggiunti da altre civiltà nella stessa area mediterranea. Tuttavia, qualcosa si interrompe proprio durante l’affermazione di quell’antico razionalismo greco che sarà (almeno stante al panegirico usuale) il vanto della civiltà europea e che da sempre è indicato come apice e modello costante nello sviluppo futuro. Eppure, quel che accade al piano geometrico mi ricorda molto quella concezione pitagorica dell’Universo e che aveva profondamente influenzato la teoria fisica dell’ateniese Platone: l’idea sconcertante che dalla combinazione geometrica di alcuni solidi o di alcune semplici figure geometriche si potesse far derivare la realtà degli eventi fisici mi pare quasi richiamata da questa “deformabilità” e “plasticità” vietate delle strutture della realtà allusa dal piano euclideo; una idea profonda ed attuale che sembra avere il fascino tipico di bizzarre alchimie massoniche, ma qui si parla di oggetti astratti e non di utopie o di inconsistenti ideali filantropici…

ca  avevano già definito sistemi numerici validi e tecniche aritmetiche efficienti