Da “La scacchiera rotta” di Dudeney alla tassellatura di una superficie, nel mezzo la trasformazione del piano della geometria classica.

Uno dei rompicapi più noti di Henry Ernest Dudeney (1847-1930) è certamente il n.72 contenuto nella raccolta di enigmi pubblicata nel 1907 dal titolo The Canterbury Puzzles. Il problema intitolato La scacchiera rotta è uno dei più spiegati e raccontati nella divulgazione matematica, soprattutto in quella a scopo “ricreativo”, perché è uno dei primi esempi nella teoria matematica attuale dove si pone una rivisitazione dei classici problemi di dissezione geometrica. L’unica e fondamentale differenza rispetto al passato è che il taglio della superficie non è lineare e soprattutto non implica una proporzionalità dei segmenti ottenuti dal taglio stesso pur mantenendo una costante superficie totale della figura (cfr. Tangram cinese): la divisione proposta da Dudeney realizza una frattura dell'intera superficie seguendo una direzione insolita ed inattesa, senza attenersi necessariamente alle regole della geometria euclidea. Il testo dell'enigma racconta la situazione di ricomposizione di una normale scacchiera da gioco mandata in frantumi e scomposta in pezzi il cui profilo è lontano dalle tradizionali figure della geometria piana. Tuttavia, l’impostazione generale del problema rivela la sua antica derivazione dal tema delle dissezioni geometriche, ma con un’arbitrarietà ed una libertà decisamente più alta - per tale ragione lo si può (e deve) considerare un mero passatempo.

Questo noto enigma del matematico ed enigmista inglese viene riscoperto durante gli anni '70 del secolo scorso soprattutto in occasione della presentazione dei pentamini, in seguito noti come specifica variante dei polimini, oggetti inventati nel 1975 dal matematico statunitense Solomon Wolf Golomb (1932-2016), poiché presentano un profilo simile ai pezzi descritti dal problema di Dudeney e perché la composizione degli stessi può operarsi nel modo indicato dal suddetto problema, ma al di là di questa generica similitudine, l’importanza matematica che sottendono sia l’enigma di Dudeney, sia i pezzi componibili di Golomb è una diversa definizione del piano geometrico. Infatti, entrambe le due soluzioni non possono concepirsi in ambiente euclideo, non solo per i rigidi vincoli che la geometria euclidea impone, ma anche per via di una presupposta immodificabilità della stessa figura geometrica, a sua volta effetto e conseguenza di una immutabilità del piano su cui cui viene a descriversi la stessa figura geometrica: ricordo che per Euclide il piano geometrico è il “luogo” infinito composto da punti su cui è possibile (tramite una selezione o limitazione) comporre le diverse figure geometriche. A tal riguardo, il noto dibattito avviato dalle geometrie non euclidee ammette, anzi elimina dal ragionamento geometrico appunto, quest’idea di limitazione della figura, a sua volta conseguenza dell’abolizione (forse è meglio dire della reinterpretazione) del noto V postulato, quello cioè relativo alla definizione del parallelismo di due o più rette giacenti su un medesimo piano.

La formulazione euclidea è ampiamente nota, l’antico matematico alessandrino affermava che dato un punto P esterno ad una retta giacente su un piano per il questo punto poteva transitare solo un segmento parallelo alla retta data. Una formulazione che si discosta dalla attuale formulazione che è più una reinterpretazione della definizione euclidea che una correzione in senso stretto, tuttavia essa estende il tema dell’infinito al numero delle rette o segmenti passanti per un punto alterando di fatto il dettato euclideo, in quanto il tema dell’infinito era esclusivamente assegnato al piano su cui giacciono retta e punto esterno del postulato. Una semplice modifica alla apparenza che però, produce alcune conseguenze inattese al sistema euclideo tra le quali quella di dare ampia libertà in merito alla configurazione delle figure geometriche non più vincolate ad esibire un’ampiezza angolare pari a quella di un angolo piatto (cioè uguale a 180°). L’esito teorico di ciò è la formulazione delle geometrie non euclidee, vale a dire la geometria ellittica e parabolica, ma ha anche un altro esito, quello cioè di poter configurare le sezioni del piano, nel senso di effettuare i tagli da cui derivano le stesse figure geometriche, senza dover seguire le norme euclidee. A tal riguardo, i pezzi indicati dal noto enigma di Dudeney rivelano una natura geometrica molto differente da quella proprie delle figure classiche, dove ha importanza il profilo della figura, il numero dei lati e la sua superficie, pur richiedendo al contempo un’operatività pressocché identica alla analisi geometrica classica.

 I pentamini inventati da Golomb, che sono poi i pezzi in cui si è infranta la scacchiera del problema di Dudeney, si differenziano tra loro (ovviamente a prima vista per forma) non per il numero di lati (come nelle figure classiche), ma per il numero di quadratini che ne compongono la superficie. Ciò significa allora, che questi oggetti non possono più intendersi una limitazione del piano, ma per così dire un “avvolgimento” dello stesso, cioè l’effetto di un movimento che appartiene al piano e che lo costringe a “piegarsi”, ad invilupparsi per realizzare la figura di cui si sta dicendo. Per avere un’idea chiara di questi oggetti basta provare a costruirli utilizzando una pagina a quadri: fissati la dimensione di un quadratino, si può iniziare a comporre due o più di questi quadratini, l’esito di quest’operazione sono appunto i pezzi della scacchiera infranta di Dudeney ed i pentamini di Golomb. Siamo dunque, in una prospettiva chiaramente topologica, dove la figura non è più un corpo rigido, ma fluido, che rovescia la stessa superficie che lo configura.

In questo caso la composizione dei pezzi non segue un andamento topologico, perché ci si limita ad unirli additivamente come si farebbe nella teoria matematica classica, tuttavia rivelano un comportamento che può essere assimilato a quello delle figure utilizzate per ricoprire una superficie, vale a dire un comportamento tipico delle tassellature. A tal riguardo, è possibile osservare il piano infinito euclideo come una superficie che può essere rivestita o coperta da blocchi geometrici composti secondo le direzioni indicate dalla forma degli oggetti utilizzati.

Ciò significa che in quello stesso piano euclideo possono scaturire oggetti dalla superficie curva e significa soprattutto pensare che questi oggetti non siano un’eccezione del piano geometrico (come è nella convinzione euclidea), ma la norma stessa del sapere geometrico e degli oggetti che lo riguardano.

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